Qué número es mayor, $11^{11}$ o $9^{12}$?

Question

Qué número es mayor que $11^{11}$ o $9^{12}$?

Mi trabajo hasta el momento:

$11^{11}=285311670611>9^{12}=282429536481$.

Pero para verificar la validez de la igualdad debe estar en el rango de los más fáciles de verificar los cálculos.

Answer 1

$$\frac{11^{11}}{9^{11}} =\left(\frac{2}{9}+1\right)^{11} = \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} \left(\frac{2}{9}\right)^k > \sum_{k=0}^5 \binom{11}{k} \left(\frac{2}{9}\right)^k = \frac{177665}{19683} > 9$$

Answer 2

Esta es una variante Servaes la respuesta. Tenga en cuenta que $3^5=243=2\cdot11^2+1$. El uso de un binomio de expansión y algunos extremadamente crudo límites superiores, nos encontramos con

$$\begin{align} 3\cdot9^{12} &=3^{25}\\ &=(2\cdot11^2+1)^5\\ &=32\cdot11^{10}+80\cdot11^8+80\cdot11^6+40\cdot11^4+10\cdot11^2+1\\ &\lt32\cdot11^{10}+80\cdot11^8+11^8+11^8+11^8+11^8\\ &\lt32\cdot11^{10}+121\cdot11^8\\ &=32\cdot11^{10}+11^{10}\\ &=3\cdot11^{11} \end{align}$$

y por lo tanto $9^{12}\lt11^{11}$.

Answer 3

El objetivo es demostrar que el $(1 + 2/9)^{11} > 9$. Como el lado izquierdo es de aproximadamente $9.091843$ este va a ser un poco complicado.

La idea principal de esta solución es intentar aprovechar el hecho de que $(11/9)^2 = 121/81$ es de poco menos de $3/2$, ya que el $3/2$ va a ser fácil de trabajar.

Comience con la desigualdad de $3^2 \times 29 > 2^8$, yo. e. $261 > 256$. Multiplicar throuhg en ambos lados por $3^4 2^3$ conseguir $3^6 \times 232 > 81 \times 2^{11}$.

Ahora, podemos reescribir esto como

$$3^{11} \times {232 \over 243} > 81 \times 2^{11}.$$

Luego tenemos la $(232/243) = 1-11/243 < (1-1/243)^{11}$ (por la desigualdad de Bernoulli, como se ha señalado por roby5) y de lo que se deduce que

$$3^{11} \times (1-1/243)^{11} > 81 \times 2^{11}.$$

En este punto la mayor parte del trabajo está hecho. Dividir ambos lados por $2^{11}$ para obtener

$$1.5^{11} \times (1-1/243)^{11} > 81$$

y se multiplican ambos lados por $81^{11}$ para obtener

$$121.5^{11} \times (1-1/243)^{11} > 81^{12}$$

Pero desde que ambos factores en el lado izquierdo se undécima poderes, podemos reescribir esto como

$$121^{11} > 81^{12}$$

y tomando raíces cuadradas de ambos lados da el resultado deseado.

Answer 4

Más generalmente, usted está buscando para probar: $x^x > (x-2)^{x+1}$. Esto se puede hacer tomando registro de ambos lados, y su más fácil. Considere la posibilidad de $f(x) = x\ln x - (x+1)\ln (x-2)$$(11, \infty)$, y tomando de registro tenemos: $f'(x) = \ln x + 1 - \ln(x-2) - \dfrac{x+1}{x-2}$. Tenemos $f''(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x-2}+ \dfrac{3}{(x-2)^2}= \dfrac{(x-2)^2-x(x-2) + 3}{x(x-2)^2}= \dfrac{7-2x}{x(x-2)^2} < 0\implies f'(x) > f'(\infty) = 0 \implies f(x) > f(11)$

Answer 5

Sólo para la base de la misma, aquí hay otro enfoque, basado en el hecho de que $$9^3=6\times11^2+3\qquad\text{ and }\qquad 6^4<11^3-3\times11.$$ No es la más pulida manera; $$\begin{eqnarray*} 9^{12}&=& (6\times11^2+3)^4=3^4\times(2\times11^2+1)^4\\ &=& 3^4\times(2^4\times11^8+4\times2^3\times11^6+6\times2^2\times11^4+4\times2\times11^2+1)\\ &=&6^4\times(11^8+2\times11^6+\tfrac{3}{2}\times11^4+\tfrac{1}{2}\times11^2+\tfrac{1}{16})\\ &<&(11^3-3\times11)\times(11^8+2\times11^6+\tfrac{3}{2}\times11^4+\tfrac{1}{2}\times11^2+\tfrac{1}{16})\\ &=&11^{11}+2\times11^9+\tfrac{3}{2}\times11^7+\tfrac{1}{2}\times11^5+\tfrac{1}{16}\times11^3\\ &\ &\quad\ \ \ -3\times11^9-\ 6\times11^7-\tfrac{9}{2}\times11^5-\ \tfrac{3}{2}\times11^3-\tfrac{3}{2}\times11 \end{eqnarray*}$$ La alineación de la última expresión muestra que es menor que $11^{11}$, como se desee.