Cómo simplificar una raíz cuadrada

Question

¿Cómo puede el siguiente:

$$ \sqrt{27-10\sqrt{2}} $$

Ser simplificada a:

$$ 5 - \sqrt{2} $$

Gracias

Answer 1

Si usted está frente a una pregunta que dice "Demostrar que $\sqrt{27-10\sqrt{2}}$ $=5 - \sqrt{2}$", entonces es sólo una cuestión de cuadrar $5 - \sqrt{2}$, y viendo que usted consigue $27-10\sqrt{2}$. Pero supongamos que la pregunta de su enfrentan es encontrar una raíz cuadrada de $27-10\sqrt{2}$ de la forma $a+b\sqrt{2}$ donde $a$ $b$ son racionales. Entonces usted tiene $$ 27-10\sqrt{2}=\left(a+b\sqrt{2}\right)^2 = a^2 + 2ab\sqrt{2} + 2b^2 $$ así \begin{align} 27 & = a^2+2b^2 \\[8pt] -10 & = 2ab \end{align} A partir de la segunda ecuación obtenemos $a=-5/b$, entonces la primera ecuación se convierte en $$ 27 = \frac{25}{b^2} + 2b^2 $$ o $$ 2(b^2)^2 -27b^2 + 25 = 0. $$ Una solución es $b^2=1$, y puede ir desde allí a encontrar $b$ y, a continuación,$a$.

(Y recuerde que el número tiene dos raíces cuadradas).

Nota posterior: En orden para que todo esto funcione, tenemos que confiar en el hecho de que $\sqrt{2}$ es irracional. Que nos permite concluir que el racional partes son iguales y lo irracional de las piezas son iguales, por lo que tenemos dos ecuaciones.

Answer 2

Sin la suerte de conjeturas son necesarios, no es un simple algoritmo de almacenaje para $\rm\:\sqrt{a+b\sqrt{n}}$

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Simple Almacenaje Regla De $\rm\ \ \ \color{#0A0}{subtract\ out}\ \sqrt{norm}\:,\ \ then\ \ \color{brown}{divide\ out}\ \sqrt{trace} $

$\begin{array}{lll}\rm Recall\ \ \ w = a + b\sqrt{n}\ \ \ has\!\!\! &{\bf norm} &\!\!\!\rm=\: w\:\cdot\: w' = &\!\!\!\!\rm(a + b\sqrt{n})\ \cdot\: (a - b\sqrt{n})\ =\: a^2 - n\: b^2 \\ \\ \rm and,\ furthermore,\ \ w\ \ has \!\!\!&{\bf trace} &\!\!\!\!\rm =\: w+w' = &\!\!\!\!\rm (a + b\sqrt{n}) + (a - b\sqrt{n})\: =\: 2\:a\end{array}$

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Aquí $\:27-10\sqrt{2}\:$ norma $= 23^2.\,$ $\rm\, \color{#0A0}{Subtracting\ out}\ \sqrt{norm}\ = -23\ $ rendimientos $\ 50-10\sqrt{2}\:$

y esto ha $\rm\ \sqrt{trace}\: =\: 10,\ \ hence\ \ \ \color{brown}{dividing\ it\ out}\ $ de este rendimientos $\rm\ 5 - \sqrt{2} =\:$ buscó sqrt.

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Comentario $\ $ El signo de la norma sqrt fue el elegido para hacer el seguimiento sqrt racional. La misma respuesta, surgen con el signo opuesto, pero con un poco más de trabajo (racionalizar un denominador). $\ $ Para muchos más ejemplos ver otros puestos en radical almacenaje.

Answer 3

Tenga en cuenta que $27=5^2+\sqrt2^2$ $10\sqrt2=2\times5\times\sqrt2$

Answer 4

Sugerencia: Compare los cuadrados de ambas expresiones.

Answer 5

Note que $$\begin{align}27-10\sqrt{2} & = 25 - 2\cdot 5\sqrt{2} + 2 \\ & = 5^2 - 2\cdot5\sqrt2 + \left(\sqrt2\right)^2\\ & = \left(5 - \sqrt 2\right)^2 \end{align} $$

Yo no conozco ninguna manera a este aviso, salvo que acaba de tener suerte y aviso; no me di cuenta de lo que podría suceder hasta que en algún momento en la escuela secundaria cuando yo estaba asombrado al descubrir que $\sqrt{7+4\sqrt3} = 2+\sqrt3$.