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Un límite que involucran polinomios

Sea el polinomio:

$$P_n (x)=x^{n+1} - (x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)$$

Quiero demostrar que tiene una sola raíz real positiva vamos a denotar por $x_n$, y, a continuación, calcular: $$\lim_{n\to\infty} x_{n}$$

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Ty221 Puntos 143

$$P_n(x)=x^{n+1}-(x^{n-1}+x^{n-2}+...x+1)=x^{n+1}-\sum_{k=0}^{n-1}x^{k}$$ La fórmula para la suma de una serie geométrica finita, tenemos, si x $\ne$ 1: $$P_n(x)=x^{n+1}-\frac{x^n-1}{x-1}$$ Igualando a cero, $$x^{n+1}=\frac{x^n-1}{x-1} \implies x^{n+1}(x-1)=x^{n+2}-x^{n+1}=x^n-1 \implies x^{n+2}-x^{n+1}-x^{n}=-1$$ Así que, siempre que x $\ne$ 0, también tenemos $x^2-x-1=\frac{-1}{x^n}$
Ahora podemos límite de ambos lados como n se acerca a infinito, para obtener (suponiendo que x>1) $$x^2-x-1=0 \implies x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

Establezcamos la singularidad de esta raíz para x>1: $$P_n'(x)=(n+1)x^{n+1}-((n-1)x^{n-1}+(n-2)x^{n-2}+...2x+1)=0$$ Tiene exactamente una raíz, por Descartes' regla de los Signos. Tenga en cuenta que$P_n'(0)=1$$p_n'(1)=n+1-(n-1+n-2+n-3...)<0$, por lo que la raíz debe estar entre 0 y 1. Como resultado, la curva cruza el eje x positivo en exactamente el mismo lugar.

$$P_n(\phi)=\frac{1}{\phi^n(\phi-1)}(\phi^{2}-\phi-1+\frac{1}{\phi^n})$$ Ahora, tenga en cuenta que$\phi^2-\phi-1=0$, por definición, y $\frac{1}{\phi^n}=(\phi-1)^n$, por lo que $$P_n(\phi)=\frac{(\phi-1)^{n-1}}{\phi^n}=(\phi-1)^{2n-1}$$ Ya, $|\phi-1|<1$ n tiende a infinito, $P_n(\phi)$ tiende a cero.
Nunca he hecho ningún análisis real (tengo 17) así que me perdone por no ser riguroso. Es esto suficiente?

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bizzurnzz Puntos 31

Descartes' regla de los signos muestra que $P_n$ tiene más de una raíz, y desde $P_n(1)=1-n<0$ y $\lim_{+\infty} P_n=+\infty$, $P_n$ tiene exactamente una raíz $x_n>1$. Vamos $$R_n(x)=x^{-n}(x-1)P_n(x)=x^2-x-1+x^{-n}$$ A continuación, $R_n$ tiene exactamente dos raíces positivas 1 y $x_n$, por lo que es negativa en el intervalo de $(1,x_n)$ y positivo en $(x_n,+\infty)$: para todos los $x>1$, $$\operatorname{sgn} (x-x_n)=\operatorname{sgn} R_n(x)$$

Para todos $x>1$, $R_n(x)$ converge pointwise a $$Q(x)=x^2-x-1$$

Pero $$\operatorname{sgn} Q(x)=\operatorname{sgn} (x-\phi)$$ donde $\phi=(1+\sqrt 5)/2$, por lo que siempre $x\ne\phi$, $\operatorname{sgn} Q(x)\ne 0$ y tenemos: $$\lim_{n\to\infty} \operatorname{sgn} (x-x_n)=\lim_{n\to\infty} \operatorname{sgn} R_n(x)=\operatorname{sgn} Q(x)=\operatorname{sgn} (x-\phi)$$ y, por tanto, $x_n$ converge a $\phi$.

3voto

user26872 Puntos 11194

Ya se que no es mucho más trabajo, vamos a estudiar las raíces en $\mathbb{C}$.

Tenga en cuenta que $x=1$ no es una solución, a menos que $n=1$, ya que el $P_n(1) = 1-n$.

Puesto que estamos interesados en el límite de $n\to\infty$, podemos suponer $x\ne 1$. La suma de la serie geométrica, $$\begin{eqnarray*} P_n (x) &=& x^{n+1} - (x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1) \\ &=& x^{n+1} - \frac{x^n-1}{x-1}. \end{eqnarray*}$$ Las raíces se pueden satisfacer $$x_n^{n}(x_n^2-x_n-1) = -1.$$

(Adición: Si existen dudas acerca de la convergencia de la suma, pensar en sumar la serie como una forma de taquigrafía que nos recuerda que $(x-1)P_n(x) = x^{n}(x^2-x-1) + 1$ todos los $x$.)

Si $0\le |x_n|<1$, $\lim_{n\to\infty} x^n = 0$, por lo tanto, en el límite, no hay raíces complejas en el interior del círculo unitario.

Si $|x_n|>1$, $\lim_{n\to\infty} 1/x^n = 0$, por lo tanto, en el límite, las raíces deben satisfacer $$x_n^2 - x_n - 1 = 0.$$ Hay una solución a esta ecuación cuadrática con $|x_n|>1$, es real y positivo, $$x_n = \frac{1}{2}(1+\sqrt{5}).$$ Esta es la proporción áurea. Es la única raíz en el exterior de la unidad de círculo.

El resto de las raíces debe estar en el límite del círculo unidad.

Contour plot of $|P_{15}(x+i y)|$.

Figura 1. Gráfico de contorno de $|P_{15}(x+i y)|$.

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