Solución a $y(x) + y'(x) + y''(x) + y'''(x) + \cdots = 0$

Question

Hay no trivial de la solución a la siguiente ecuación diferencial?

$$y(x) + y'(x) + y''(x) + y'''(x) + \cdots= 0$$

Que es, hay una función suave $y : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que para cada una de las $x$, el de la serie $$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{d^n y}{dx^n}(x)$$ converge a cero.

Answer 1

No es no trivial de la real solución analítica.

De hecho, si $$ y(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n x^n}{n!}, $$ a continuación,$\sum_{n=0}^\infty y^{(n)}(x)=0$, implica que el $\sum_{n\ge k}a_n=0$, para todos los $k\ge 0$, y, por tanto,$a_n=0$, para todos los $n\ge 0$.

Answer 2

La solución anterior es la solución para la ecuación de $y+y'+\ldots+y^{(n)}=0$. Pero para que esta ecuación se puede componer con el operador $I-D$ donde $D$ es el operador $D(y)=y'$, su ecuación escribir $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}D^{(n)}(y)=0$, $(I-D)\circ (\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}D^{(n)})(y)=I(y)=y=0$

Answer 3

$t\mapsto \sum_{\lambda\in \Gamma}\alpha e^{\lambda t}$ donde $\Gamma$ es el conjunto de soluciones de la ecuación característica $1+x+x^2+x^2+\ldots=0$, e $\alpha\in \mathbb{K}$

Answer 4

Como otros han señalado, no hay solución a la ecuación.

No son, sin embargo, las soluciones a la estrecha relación de la ecuación de

$$(y(x)+y'(x))+(y''(x)+y'''(x))+\ldots =0$$

Es decir,: $y=Ae^{-x}$ ($A$ constante).