¿Por qué el GPS requiere un mínimo de 24 satélites?

Question

Desde Wikipedia ,

El diseño del GPS preveía originalmente 24 SVs, ocho cada uno en tres órbitas aproximadamente circulares, pero se modificó a seis planos orbitales seis planos orbitales con cuatro satélites cada uno. [...] Las órbitas están dispuestas de modo que para que al menos seis satélites estén siempre en la línea de visión de casi toda la superficie de la Tierra.

Entiendo que necesitamos 4 satélites dentro de la línea de visión para resolver la posición y la hora. Aceptemos que, por razones de seguridad, necesitamos que 6 satélites estén siempre dentro de la línea de visión, en cualquier lugar de la Tierra.

Esta es mi pregunta: ¿por qué necesitamos un mínimo de 24 satélites para tener 6 de ellos dentro de la línea de visión?

Dejemos que $r$ sea el radio de la Tierra y $R$ sea el radio orbital de los satélites, el área de la esfera orbital visible en cualquier lugar de la superficie terrestre es

$A=\int R^2 \sin\theta\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\phi = -2\pi R^2\int_1^{r/R} \mathrm d\cos\theta = 2\pi R^2(1-r/R)$

La fracción de ángulo sólido visible es

$x = 2\pi R^2(1-r/R)/(4\pi R^2) = (1-r/R)/2$

Sustituyendo $R =$ 26.600 km y $r = $ 6.370 km (valores de Wikipedia), obtenemos $x =$ 38.0%. Con 24 satélites, deberíamos ser capaces de ver unos 9 de ellos la mayor parte del tiempo, lo que supone un ~50% por encima del requisito.

¿La discrepancia se debe a que no podemos distribuir uniformemente los satélites en una esfera? Si es así, ¿cómo podemos deducir el número mínimo de satélites necesario?

Answer 1

Veo seis posibles razones para ello. Ya has mencionado una, la imposibilidad de distribuir "uniformemente" los satélites sobre una esfera, en la pregunta, y percusse y Tim mencionaron tres más en los comentarios, la redundancia, la precisión y la visibilidad en el horizonte. Otros dos aspectos son que incluso con una distribución "uniforme" sobre la esfera su promedio no garantiza una cobertura completa, y el hecho de que los satélites no pueden permanecer en una constelación fija sin estar en órbitas geoestacionarias.

Precisión

El precisión del GPS es mayor cuando los satélites utilizados están más espaciados (angularmente). En principio, se podría pensar que eso significa que la precisión aumentaría si hay menos satélites y están más separados; sin embargo, si hay más del número mínimo de satélites a la vista, se pueden elegir los más exteriores y obtener un mejor ángulo que si todos estuvieran ligeramente separados pero se tuvieran que utilizar los interiores. Cuál de estos dos efectos domine puede depender de los detalles de la configuración.

Horizonte

La gente suele estar rodeada de casas o colinas o bosques; rara vez se tiene una línea de visión hacia el horizonte. Este puesto dice:

También voy a restringir los cálculos de DOP exigiendo que cada punto de la Tierra no pueda ver ningún satélite GPS por debajo de 10 grados del horizonte. Este es un ángulo de máscara típico utilizado para este tipo de análisis.

Para realizar su análisis con esta restricción, necesitamos encontrar el valor de $\theta$ correspondiente a un ángulo de $\alpha=100^\circ$ entre las direcciones hacia el centro de la Tierra y hacia un satélite en $\theta$ . Aplicando la ley de los cosenos dos veces,

$$x^2=r^2+R^2-2rR\cos\theta\;,$$ $$R^2=r^2+x^2-2rx\cos\alpha\;,$$

restando para deshacerse de $x^2$ ,

$$r-R\cos\theta+x\cos\alpha=0\;,$$

resolver para $x$ y sustituyéndola en la primera ecuación,

$$(r-R\cos\theta)^2=\cos^2\alpha(r^2+R^2-2rR\cos\theta)$$

y resolviendo para $\cos\theta$ produce

$$\cos\theta=\lambda\sin^2\alpha-\cos\alpha\sqrt{1-\lambda^2\sin^2\alpha}$$

con $\lambda=r/R$ . Sustituyendo $\alpha=100^\circ$ y $\lambda=6370/26600\approx0.24$ produce $\cos\theta\approx0.4$ Así que $(1-\cos\theta)/2\approx0.3$ por lo que la fracción visible del ángulo sólido sería de aproximadamente $30\%$ .

Uniformidad

En primer lugar, debemos reflexionar sobre lo que significa que los puntos estén distribuidos "uniformemente" en la esfera. Podríamos intentar que el poliedro formado por los satélites isoédrica , isotoxal y/o isogonal . Obtenemos la condición más estricta exigiendo las tres propiedades, lo que significa que el poliedro es regular y como es convexo (suponiendo que los satélites están en una esfera), debe ser uno de los sólidos platónicos. Obviamente sólo hay cinco números de satélites para los que esto es posible, pero como uno de ellos, $20$ se acerca a la cifra real, $24$ tiene sentido mirar este caso.

Aunque los satélites formen un sólido platónico y, por tanto, estén distribuidos lo más "uniformemente" posible, su consideración de la media no da el número correcto de satélites. Esto es quizá más fácil de ver en el caso del tetraedro regular. Digamos que nuestro requisito es tener siempre dos satélites a la vista, y para simplificar supongamos que siempre podemos ver el horizonte y que los satélites están muy lejos, por lo que podemos verlos exactamente en la mitad del ángulo sólido. Entonces tu planteamiento diría que deberíamos necesitar unos cuatro satélites distribuidos "uniformemente" en los vértices de un tetraedro regular para tener siempre dos a la vista. Evidentemente, esto no es así, ya que tres de ellos pueden concentrarse en la parte inferior $((-1/3)-(-1))/2=1/3$ del ángulo sólido completo. Una simulación numérica muestra que en este escenario, alrededor de $17.5\%$ de la Tierra sólo vería un satélite, $65\%$ vería dos, y $17.5\%$ vería tres.

En este escenario simplificado, el problema no se produciría con ninguno de los otros sólidos platónicos, ya que todos tienen vértices opuestos, por lo que exactamente la mitad de ellos estarían siempre a la vista. Sin embargo, volviendo al caso realista en el que vemos unos $30\%$ del ángulo sólido, sucede que su enfoque predeciría $20$ satélites sea suficiente para ver $6$ de ellos todo el tiempo, así que podríamos intentar usar un icosaedro regular para este caso. Una simulación numérica muestra que en este caso $3\%$ de la Tierra sólo vería $4$ satélites, $20\%$ vería $5$ , $51\%$ vería $6$ y $26\%$ vería $7$ .

Así que aunque pusiéramos los satélites en los vértices de un sólido platónico, y aunque pudiéramos fijarlos en su sitio (cosa que no podemos en estas órbitas), $20$ los satélites ya estarían reduciendo bastante. Si ahora se tiene en cuenta que la configuración tiene que compensar los desplazamientos provocados por los movimientos de los satélites, $24$ empieza a parecer menos redundante de lo que parece a primera vista.