Quiero encontrar el límite de $\displaystyle\int_0^\infty ne^{-nx}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\;dx$$n\to\infty$, si existe, o demostrar que no existe. Veo que $ne^{-nx}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\to 0$ todos los $x>0$ y que la convergencia es uniforme en $[a,\infty)$ todos los $a>0$. Que implica $\displaystyle\int_a^\infty ne^{-nx}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\;dx\to 0$ $n\to\infty$ todos los $a>0$. ¿Alguien puede decirme cuál es el próximo paso es o si estoy en el camino equivocado? Gracias.
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user3035
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El cambio de las variables de $y = nx$. Su integral se convierte en $$\int_0^{\infty}e^{-y}\sin({n \over y})\,dy$$ $$= {{1 \over n}}\int_0^{\infty}y^2e^{-y}{{n \over y^2}}\sin({n \over y})\,dy$$ Integrar esta por partes, integración de ${n \over y^2}\sin({n \over y})$$\cos({n \over y})$, y la diferenciación de $y^2e^{-y}$. Se obtiene $${1 \over n}\lim_{y \rightarrow \infty} \big(y^2 e^{-y}\cos({n \over y})\big) - {1 \over n}\lim_{y \rightarrow 0} \big(y^2 e^{-y}\cos({n \over y})\big) - {1 \over n}\int_0^{\infty}(2y - y^2)e^{-y}\cos({n \over y})\,dy$$ La observación de que tanto el límite de términos ir a cero, esto se convierte en $$- {1 \over n}\int_0^{\infty}(2y - y^2)e^{-y}\cos({n \over y})\,dy$$ Desde $|\cos({n \over y})| \leq 1$ todos los $n$ y todos los $y$, el de arriba es limitado en valor absoluto por $${1 \over n}\int_0^{\infty}(2y + y^2)e^{-y}\,dy$$ Puesto que la integral no depende de la $n$ y es finito, el límite de $n$ va al infinito de la expresión anterior es igual a cero.
