no es parte integral de la $$ \int \frac{x+\sqrt{1+x+x^2}}{1+x+\sqrt{1+x+x^2}}\:\mathrm{d}x$$ estoy tratando de separar a este : $$=\int \mathrm{d}x -\int \frac{\mathrm{d}x}{1+x+\sqrt{1+x+x^2}} $ $ , pero no tienen idea acerca de la segunda
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tenemos la forma algebraica: $$ \frac{x+\sqrt{1+x+x^2}}{1+x+\sqrt{1+x+x^2}}. $$ Multiplicando por $\dfrac{(1+x)-\sqrt{1+x+x^2}}{(1+x)-\sqrt{1+x+x^2}}$ rendimientos $$ \frac{\sqrt{1+x+x^2}-1}{x}=\frac{\sqrt{1+x+x^2}}{x}-\frac1x. $$ La integral se convierte en $$ \int \frac{x+\sqrt{1+x+x^2}}{1+x+\sqrt{1+x+x^2}}\ dx=\int \frac{\sqrt{1+x+x^2}}{x}\ dx-\int \frac1x\ dx. $$ La parte izquierda de la integral en el lado derecho puede ser resuelto mediante la sustitución de Euler dejando $t-x=\sqrt{1+x+x^2}$, obtendrá $x=\dfrac{t^2-1}{2t+1}$, $dx=\dfrac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2}\ dt$, y $\sqrt{x^2+x+1}=\dfrac{t^2+t+1}{2t+1}$, entonces se convierte en $$ \int \frac{\sqrt{1+x+x^2}}{x}\ dx=\int \dfrac{2(t^2+t+1)^2}{(t^2-1)(2t+1)^2}\ dt. $$ La última parte puede ser resuelto mediante el uso parcial de la fracción de descomposición $$ \dfrac{2(t^2+t+1)^2}{(t^2-1)(1+2t)^2}=-\frac1{t+1}+\frac1{2t+1}-\frac3{2(2t+1)^2}+\frac1{t-1}+\frac12. $$ Espero que no me lío y esto le ayuda.
