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Encuentra el lcm(a,b,c) dadas dos condiciones

Esto es un problema en una competición italiana de hace tres años. ¿Podría ayudarme a resolver este problema?

Dado $a,b,c\in \mathbb{N}$ tal que $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{58} $$ y $$a+b+c=2010$$

Encuentre el $\text{lcm}(a,b,c)$

Estoy tratando de resolver este problema sin usar ningún software, y me gustaría demostrarlo con una prueba elegante. Gracias.

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irrational John Puntos 2478

Manipular algebraicamente: $$58(ab+bc+ac)-abc=0$$ $$58^3-58^2(a+b+c)+58(ab+bc+ac)-abc=58^3-58^2(a+b+c)$$ $$(58-a)(58-b)(58-c)=58^2(58-2010)$$ $$(a-58)(b-58)(c-58)=58^2(1952)$$ $$(a-58)(b-58)(1952-a-b)=2^7*29^2*61$$ Reemplazando convincentemente: $$x=a-58,y=b-58$$ $$xy(1836-x-y)=2^7*29^2*61$$ Entonces sólo tienes que elegir $x$ y $y$ como divisores del número, comprobar si se cumple la ecuación final, sustituir por $a$ y $b$ y calcular el $lcm$ .

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