QFTs "finitas" y singularidades de corta distancia y funciones beta evanescentes

Question

No estoy seguro de poder enmarcar esta pregunta de forma suficientemente coherente - surge de varias cosas de la QFT sobre las que he estado pensando y leyendo recientemente. Puede que estos pensamientos estén mal orientados, pero aún así sería útil saber por qué lo están, si es que lo están. Me gustaría escuchar algunas discusiones al respecto.

• Supongo que hay QFTs que son "exactas" o "finitas", ya que no requieren un regulador o corte para que su función de partición esté definida (..y supongo que se puede evaluar la función de partición exactamente..) Supongo que las QFTs realmente no triviales "finitas" serían aquellas que lo son incluso en espacios-tiempo no compactos. ¿Existen tales?

• Supongo que existen QFTs que tienen una función beta no-perturbativa 0. (como $\cal {N} =4$ SYM)

¿Están relacionadas estas dos propiedades?

Como si el hecho de ser "finito" implicara que tiene un $0$ ¿función beta o a la inversa? (..parece que no..ver abajo..)

• Supongo que las CFTs ( o cualquier QFT que se encuentre en un cero de su función beta - "crítica" ) tienen más o menos por definición una función beta 0 pero tienen OPEs no triviales que provienen de singularidades de corta distancia. Esto no es intuitivo porque uno habría pensado ingenuamente que el gran momento es como la corta distancia y, por tanto, si la teoría no requiere ningún regulador y, por tanto, no tiene ninguna divergencia de gran momento, entonces tampoco debería tener ninguna singularidad de corta distancia. Pero esto parece ser erróneo, por lo que supongo que uno se ve llevado a pensar que tener una función beta exactamente 0 no tiene nada que ver con que la teoría sea finita.

No me queda claro que haya una relación directa entre tener singularidades de corta distancia y si las integrales del espacio de impulso divergen o no (..lo que posiblemente debería implicar que la función de partición también diverge..)(..Como Yuji Tachikawa en los comentarios señala el caso simple de que incluso la teoría de bosones libres tiene singularidad de corta distancia pero como no hay procesos de bucle en ella supongo que no tiene sentido preguntarse si las integrales del espacio de impulso convergen pero supongo que su función de partición no siempre está bien definida..)

Como en la página 441, Weinberg en su volumen 1 de sus libros de QFT, dice en cursiva que "la renormalización de masas y campos no tiene nada que ver directamente con la presencia de infinitos y sería necesaria incluso en una teoría en la que todas las integrales del espacio de momento fueran convergentes"

Para resumir mi pregunta - se dice que hay conceptualmente diferentes fuentes múltiples de infinito en un QFT como,

1. divergencia de las integrales del espacio del momento
2. singularidad de corta distancia
3. funciones de partición divergentes
4. las constantes de acoplamiento son enviadas al infinito por la función beta

(.Pensé en añadir también el fenómeno del polo de Landau en la lista anterior pero supongo que no es una propiedad tan fundamental y es sólo una indicación del fracaso de la técnica de perturbación..pensé que podría estar equivocado..)

Entonces, ¿hay una manera de pensar en estos "diferentes" infinitos como causa y efecto uno del otro?

¿O es posible que cualquier combinación de éstas pueda aparecer en alguna QFT?

Y/¿Cómo se relacionan con la propiedad de que la función beta sea no-perturbativamente 0 o no? (..excepto en el caso "por definición" de que para la función beta no perturbativa 0 (4) no puede ocurrir..)

Answer 1

Se trata de una cuestión bastante sutil, ya que también a nivel clásico los parámetros de la teoría podrían resultar redefinidos de forma finita. Pero, por lo que usted sabe, somos muy buenos con las teorías libres y éstas ocurren sobre todo como puntos fijos para las teorías conocidas. Si quieres un ejemplo puedes echar un vistazo a la teoría de campos escalares. Puedes considerar una acción estándar como

$$S=\int d^4x\left[\frac{1}{2}(\partial\phi)^2-\frac{\lambda}{4}\phi^4\right]$$

Esta teoría es trivial y esto significa que alcanza un punto fijo trivial tanto en el ultravioleta como en el infrarrojo que la hace inútil para describir la física a menos que se introduzca explícitamente algún corte en alguna parte. Pero en el infrarrojo se obtiene una función beta que va como

$$\beta(\lambda)=4\lambda+\frac{c_1}{\sqrt{\lambda}}+O(1/\lambda)$$

y así, si tienes un acoplamiento inicial $\lambda=\lambda_0$ obtendrá un acoplamiento en marcha que va a cero como $p^4$ bajando los momentos. La teoría se vuelve libre pero estas excitaciones libres son todas masivas con una masa proporcional a $\lambda_0^\frac{1}{4}$ como también se puede ver en los cálculos de la red. ¡Se puede ver a partir de esto que, a pesar de que estamos lidiando con un punto fijo trivial, todos los parámetros de la teoría resultan ser adecuadamente redefinidos y de una manera finita!

El significado de esto es que la renormalización sólo expresa una propiedad física de una teoría cuántica: El simple hecho de que la interacción cambia todos los parámetros de una teoría dada cuando se activan los acoplamientos. Pero un rastro de esto se puede encontrar en los puntos fijos de la propia teoría.

Ahora bien, si te fijas en la teoría clásica, podrás resolverla exactamente pero las soluciones no tienen energía finita a menos que trabajes con un volumen finito o redefinas el acoplamiento $\lambda$ exactamente como ocurre con la teoría cuántica. También en este caso se obtendrá una masa aunque se parta de una teoría sin masa y su acoplamiento se ejecutará.

De nuevo, vemos que el efecto de la interacción, el hecho de que el acoplamiento $\lambda$ no es cero, es exactamente modificar todos los parámetros de una teoría.

Como ves, esto es cierto independientemente de que te enfrentes a infinitos o no.