¿Cuándo debe inducir morfismos PROP montajes?

Question

Si (C, tensor, 1) es una categoría simétrica monoidal y f:A--> B es un morfismo de apoyos (o gatos monoidal = color apoyos), uno obtiene un functor olvidadizo f^*:B-Alg(C)-->A-Alg(C) (donde B-Alg(C) = Funtor preserva el tensor de B a C) definido por la precomposición con f.

¿Alguien las condiciones en A, B, C que este functor tiene a la izquierda o un adjoint derecho? (por ejemplo, si C tiene la estructura de monoidal procedentes de productos, tiene un adjoint izquierdo, allí es más que decir?)

Answer 1

No sé la respuesta a esa pregunta, pero yo sé la respuesta a algunas preguntas similares.

El más sencillo (que probablemente usted conoce) es que si f: A --> B es un mapa de la (pequeña) categorías y C tiene todos los pequeños colimits (respectivamente, los límites), entonces f^* a la izquierda (respectivamente, a la derecha) adjunto. Estos adjoints son llamados a la izquierda y a la derecha Kan extensión a lo largo de f.

Un escenario más complejo es finito categorías de productos. Si f: A --> B es finito-producto de la preservación de functor entre las categorías con finito productos, entonces es un hecho que f^*: FP(B, Conjunto) --> FP(Set) ha dejado adjunto. (Aquí FP(a, C) significa que la categoría de finito de producto preservación de functors de la a a la C, y todos los naturales de las transformaciones entre ellos.) Buscando en la prueba, parece que funciona, si reemplazamos Conjunto por parte de cualquier categoría con finito de productos y pequeña colimits tal que el ex distribuir sobre el segundo.

Tal vez es cierto que para monoidal categorías, f^* tiene un adjunto a la izquierda como a largo como a y B son pequeños, C) tiene una pequeña colimits, y el tensor en C y distribuye más pequeños colimits. (Y una doble declaración debe contener por derecho adjoints.) Pero eso es sólo una conjetura.

Answer 2

Paul-André Melliès tiene un interesante artículo sobre este tema:

http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/33/93/31/PDF/free-models.pdf

...pero expresado en los términos más generales de T-álgebras de un pseudomonad. La idea es que un pseudomonad en un 2-categoría (especialmente Gatos), permiten colocar estructuras algebraicas en las categorías de la misma manera mónadas dejar que las pongas en los objetos de una categoría, como los juegos. Esto es motivado por la necesidad de poner Puntales, PROBs, PROs, Lawvere teorías, etc. todo bajo un mismo techo.

Él comienza a hablar acerca de cómo un T-álgebra homomorphism (un monoidal functor en el caso de que el T-álgebras son monoidal categorías) j : A -> B induce una olvidadizo functor U_j a partir de Modelos(B,C) para los Modelos(a,C) en la forma en que usted ha mencionado. Buscando izquierda medico adjunto U_j cantidades a buscar una manera de empujar algunos functor hacia atrás a lo largo de la j en una adecuada forma natural. Como Tom ya se ha mencionado, esta es la izquierda Kan extensión. Este proceso es functorial, y generalmente escrito Lan_j : [a,C] -> [B,C]. Además, Lan_j -| U_j.

Pero si estábamos haciendo allí, todos los PROPs tendría libre de álgebras, que sabemos no es cierto en general (cf. bialgebras). La parte difícil es demostrar la Lan_j es un T-algebraicas izquierda Kan-extensión. En el caso de Lawvere teorías, esto es fácil, porque la estructura del producto garantiza a todos los naturales de las transformaciones de coordenadas cartesianas functors son cartesiano, pero en el monoidal caso, estas cosas todo debe ser revisado.

Aquí es donde la historia comienza a complicarse. Parece bastante difícil venir para arriba con adecuada débiles condiciones bajo las cuales Lan_j es T-algebraico. Mellies frases de estos en términos de distribuidores (aka profunctors, módulos, dependiendo de a quién preguntes y en qué país estás en :-P). Si functors son como las funciones, esto es un poco como las relaciones. Lo bueno de ellos es que siempre vienen en adjoint pares f_* y f^* para cualquier functor f.

Así, thm 1 en el documento es (aproximadamente) de este. Si j y j^* T-algebraicas en el apto de 2 categorías, una C (T-algebraicamente) completar y co-completa, y para cualquier modelo de f : A -> C, f_* o j^* factores a través de la estrella de la Yoneda de incrustación y : C -> Psh(C), entonces U_j ha dejado adjunto calcula como Lan_j que es, de hecho, la libre functor.

Esto es bastante pesado (pro-flecha equipo, extremos, etc.), pero parece que para conseguir el trabajo hecho. Sería bueno ver más concreto/ejemplos concretos de esto.