¿Por qué una derivada puede ser no lineal?

Question

Una definición de la derivada es que es la pendiente de la recta tangente. Por ejemplo, $x^3$ tiene una derivada cuadrática. ¿Cómo puede ser la pendiente de la recta tangente no lineal?

Answer 1

Editado

Vale, intentaré hacer este post más autocontenido.

Para encontrar una ecuación de la recta tangente a cualquier función $y = f(x)$ en el punto $A(x_0, y_0)$ si $f(x)$ es diferenciable en ese punto, hay que calcular su forma algebraica como $$ y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0) $$ así que, como puedes ver, aunque calcules $f'(x)$ para encontrar la pendiente de la línea tangente, se evalúa en $x_0$ , lo que lo convierte en un número, pero ese número cambiará cuando se mueva de un punto a otro.

Ahora, consideremos ese ejemplo $$ y = x^3 \implies y' = 3x^2 \implies y = x_0^3 + 3x_0^2(x - x_0) = 3x_0^2 x - 2x_0^3 $$ A continuación se ofrece una animación sencilla de la línea tangente cuando el punto en el que se ha calculado se mueve.

Answer 2

La pendiente de un solo La línea tangente es una constante: es el $m$ en la ecuación $y=mx+b$ para esa línea. Así que si la derivada de $f(x)$ es $2x$ (por ejemplo) entonces ya tienes una pendiente diferente en cada punto de $y=f(x)$ y, por lo tanto, una línea tangente totalmente diferente en cada punto.

Answer 3

La derivada en un punto preciso $x$ es la pendiente de la recta tangente en este punto. Pero la derivada es una función por lo que la pendiente se mueve mientras $x$ se mueve. En realidad, la derivada puede verse como la variación de la pendiente de la línea tangente.

Por ejemplo, la pendiente de la recta tangente de la función $x \to x^3$ aumenta más rápido que la pendiente de $x \to x^2$ . En el primer caso de forma cuadrática y en el segundo de forma lineal.

Answer 4

Tal vez busques el diferencial y no la derivada. La diferencial de una función en un punto es un mapa lineal del desplazamiento (por definición). Ten en cuenta que mapa lineal significa que la ley de transformación es lineal Y el dominio y el codominio del mapa es un espacio lineal. En efecto, el desplazamiento puede tomarse tan grande como se quiera y la diferencial será siempre definida y lineal, aunque el punto desplazado ya no esté en el dominio de la función. Por eso los físicos llaman al incremento de la variable indipendiente "desplazamiento virtual" cuando tratan con diferenciales (y también con formas diferenciales en general), porque el punto desplazado puede ser imposible, que no esté disponible en el dominio de la función que estás diferenciando, por lo que es "virtual".

Answer 5

La derivada es un límite en un solo punto. Cuando el límite existe para un punto determinado se dice que este punto específico es diferenciable.

Una ecuación diferencial es una ecuación que generaliza todos los puntos diferenciables de una función dada.

En su caso, la función $f(x) = x^{3}$ tiene todas sus derivadas generalizadas por la ecuación $g(x) = 3x^{2}$ . En un punto determinado, digamos $x=2$ la derivada será $3×(2)^{2} = 12$ por lo que el gradiente de una línea tangente en $x=2$ será $12$ .