Las probabilidades son algo difícil de entender. Intentemos un enfoque más basado en los sentimientos:
- Coge una baraja de cartas
- Barajar las cartas
- Da la vuelta a la segunda carta de la baraja y comprueba si es una reina, dejando la primera carta en la baraja
Tal vez pueda ver cómo la probabilidad es exactamente la misma ( $\frac{4}{52}$ ) si hubieras elegido la carta superior en lugar de la segunda a la superior. El azar, después de todo, no juega a favor de las dos cartas.
A continuación, considere el siguiente conjunto de acciones:
- Coge una baraja de cartas
- Barajar las cartas
- Roba la primera carta
- Saca la segunda carta y comprueba si es una reina
Ahora, deberías poder ver que las posibilidades de los dos casos son exactamente las mismas. Después de barajar el mazo, no importa si sacas dos cartas y compruebas la segunda o simplemente compruebas la segunda carta sin mirar la primera; si la segunda carta es una reina, es una reina, si no lo es, no lo es.
La otra cara del enfoque basado en los sentimientos es la matemática que lo respalda. Empecemos con el caso simple: tienes 52 cartas y quieres una reina en el segundo sorteo. (Esto también lo han hecho otras respuestas, pero lo repetiré aquí).
Sacas una reina en el segundo sorteo si:
- Sacas una reina en el primer sorteo y una en el segundo $$\frac{4}{52}*\frac{3}{51}=\frac{12}{2652}=\frac{1}{221}$$
- Sacas algo que no sea una reina en el primer sorteo y una reina en el segundo $$\frac{48}{52}*\frac{4}{51}=\frac{192}{2652}=\frac{16}{221}$$
Así que en total, la posibilidad es:
$$\frac{1}{221}+\frac{16}{221}=\frac{17}{221}=\frac{4}{52}$$
Ahora, subamos un poco la apuesta. En lugar de querer saber algo sobre las reinas en una baraja completa, quiero saber sobre el caso más general. Tengo un montón de $n$ cartas barajadas. En ese montón, sé que hay $p$ cartas que me "gustan". Lo que quiero saber es: cuál es la probabilidad de que saque una carta que me guste.
Para la primera tarjeta, es sencillo. El azar simplemente es $\frac{p}{n}$ .
Para la segunda tarjeta, tenemos de nuevo dos opciones:
- Me gustan tanto la primera como la segunda tarjeta $$\frac{p}{n}*\frac{p-1}{n-1}=\frac{p^2-p}{n^2-n}$$
- Me gusta la segunda tarjeta, pero no la primera $$\frac{n - p}{n}*\frac{p}{n-1}=\frac{pn-p^2}{n^2-n}$$
Sumando los dos, se obtiene:
$$\frac{p^2-p}{n^2-n}+\frac{pn-p^2}{n^2-n}=\frac{p^2+pn-p^2-p}{n^2-n}=\frac{pn-p}{n^2-n}$$
Mover las cosas un poco más:
$$\frac{pn-p}{n^2-n}=\frac{p(n-1)}{n(n-1)}=\frac{p}{n}$$
Que es lo mismo que las posibilidades de la primera carta. Entonces, ahora puedo decir que no importa el tamaño de la baraja o la cantidad de cartas que representan el "éxito", no importa si miro la primera o la segunda carta para determinar el éxito. (Por supuesto, si miro la segunda carta, es importante que no me importe en absoluto cuál es la primera carta).
De hecho, podría repetir el experimento para cada carta diferente de la baraja, y entonces podría sacar la conclusión de que en general: no importa si miro la primera o la segunda carta, las posibilidades de que la carta sea una determinada son iguales.
El siguiente paso podría ser probar que las otras cartas (tercera, cuarta, etc.) también tienen la misma probabilidad, pero lo dejaré como ejercicio para el lector.
Aclaración: mi prueba probablemente no sea elegante, óptima o bonita, pero creo que es correcta.
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Si se parte de la base de que los sorteos de cartas son eventos independientes, entonces debe ser un sorteo con reemplazo.
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@nathan.j.mcdougall Nos dijeron que el dibujo era sin reemplazo. ¿Esta pregunta se contradice efectivamente?
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Es una pista falsa. La primera y la segunda carta son no independiente, pero no importa porque no te importa para nada la primera carta. Tomar dos cartas y mirar sólo la segunda es sólo una forma elegante de sacar una carta del mazo.
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"¿Y si la primera carta que se saca es una reina?" -- ¿Y si la primera carta no fuera una reina? Ahora calcule la probabilidad de que (la primera carta sea reina y la segunda sea reina) o (la primera carta no sea reina y la segunda sea reina). No es que este cálculo ayude a la intuición, pero debería darte la respuesta correcta.
3 votos
Dejemos que $E_1,E_2,E_3,\dots,E_{11},E_{12},E_{13}$ sean los sucesos: la segunda carta extraída es A, 2, 3, . . ., sota, reina, rey. Como esos $13$ los eventos son mutuamente excluyentes y exhaustivos, sus probabilidades suman uno: $P(E_1)+P(E_2)+\cdots+P(E_{12})+P(E_{13})=1$ . Ahora bien, si sólo consigues convencerte de que esas probabilidades son todas iguales, puedes deducir que $P(E_{12})=\frac1{13}.$ Bueno, ¿qué crees que es más probable, conseguir una reina o conseguir una jota en el segundo sorteo?
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Al igual que con el problema de Monty Hall, es útil extender la lógica hasta el extremo. ¿Qué pasa si se toman 51 cartas y luego la última carta? ¿Cuál es la probabilidad de que el último ¿la carta es una reina? En general, ¿cuál es la probabilidad
p(N)que la carta N es una reina? Evidentemente, después de 52 cartas debe haber tenido 4 reinas para que las probabilidades sumen 4,0. Si la probabilidad p(N) disminuyera con N, p(1) sería la mayor y p(52) la menor, por lo que p(0) debe ser mayor ¡que 1/13 !0 votos
Creo que esto es esencialmente el mismo problema que Preguntas de la entrevista de probabilidad sobre el tipo de bolígrafo aunque es poco probable que lo encuentre mediante una búsqueda por palabras clave. (Y mi respuesta es esencialmente la misma que el comentario de Robert Israel).
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No entiendo la cantidad masiva de upvotes que recibe cada problema de probabilidad condicional elemental "poco intuitivo". Marcar como duplicado y cerrar parece más apropiado.
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A no ser que saques al azar o que hayas barajado el mazo antes de sacar la segunda vez. las probabilidades nunca cambian. todas las cartas tienen una probabilidad igual de 4-52 (aparte de los comodines con 2-52).
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Los jugadores de póker se refieren a la primera carta como carta baja (desconocida). La segunda (y todas) las cartas son tan aleatorias como la primera. 4/52 Pero estoy de acuerdo con la respuesta aceptada.