¿Por qué considera a una especie de regresión regresión polinomial?

Question

¿Por qué considera a una especie de regresión regresión polinomial?

Esto es lo que quiero decir con regresión polinomial. Por ejemplo, la función de la hipótesis es

$$h(x; t_0, t_1, t_2) = t_0 + t_1 x + t_2 x^2 ,$$

y los puntos de muestra

$$ (x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots$$

Answer 1

Esta es una forma de regresión lineal porque toma la forma

$$h(x)=\sum_i t_if_i(x)\;,$$

que es una combinación lineal de funciones de $f_i(x)$ y es susceptible de una solución utilizando sólo de álgebra lineal. La no-linealidad de las funciones de $f_i(x)$ no complicar la solución; se entra sólo en el cálculo de los valores de $f_i(x_j)$, y entonces, todo es lineal en estos valores. Lo importante es que la función es lineal en los parámetros de $t_i$; de lo contrario, estos deben ser determinados por la optimización no lineal.

Answer 2

Todo en "regresión polinomial" para que la linealidad que importa es lineal. En la regresión lineal, el vector de mínimos cuadrados de los estimadores de $\widehat\alpha,\widehat\beta,\widehat\gamma,\ldots$ depende en forma lineal en el vector de variables de respuesta $y_1,y_2,y_3,\ldots,y_n$. Las variables de respuesta son, en efecto, tratados como al azar y las variables predictoras son, en efecto, consideran fijos, es decir, no al azar. Que puede dar sentido a pesar del hecho de que si se toma una nueva muestra, tanto las variables de respuesta y las variables predictoras de cambio. La razón para esto es que usted está interesado en la condicional de la distribución de la variable de respuesta dada a la variable predictora.

Así que decir que hemos $$ y_i = \alpha_0 + \alpha_1 x_i + \alpha_2 x_i^2 + \mathrm{error}_i, $$ Observamos la $x$s y $y$s y, a continuación, nos encontramos con el de mínimos cuadrados estimados $\widehat\alpha_0,\widehat\alpha_1,\widehat\alpha_2$. A continuación, tomamos una muestra con el mismo $x$s, pero en lugar de la $y$s tenemos $w_1,\ldots,w_n$, y se vuelve a encontrar de mínimos cuadrados estimados; les llamamos $\widehat\beta_0,\widehat\beta_1,\widehat\beta_2$. Ahora supongamos que en lugar de las variables de respuesta ponemos $y_1+w_1,\ldots,y_n+w_n$, y encontrar de nuevo el de mínimos cuadrados de los estimadores. ¿Qué obtenemos? La respuesta es solo $\widehat\alpha_0+\widehat\beta_0,\widehat\alpha_1+\widehat\beta_1,\widehat\alpha_2+\widehat\beta_2$. Esa es la linealidad. (Una propuesta similar se aplica a los múltiplos escalares.)

Queremos saber acerca de la distribución de probabilidad de los mínimos cuadrados estimados cuando conocemos la distribución de probabilidad conjunta de las $y$s. Linealidad hace más fácil.