Relación entre radios en múltiples de Riemannian

Question

S. T. Yau planteó una (un poco) la interesante cuestión en una conferencia de hoy, que yo pensaba que iba a pedir para que los pensamientos de la gente buena.

El contexto es el siguiente: Considere la posibilidad de una 3-colector $M$ con límite y $\sigma$ ser un bucle en el que los límites de un disco en $M$. A continuación, definimos el radio de $\text{Rad}(M)$ $M$ como:

$$ \text{Rad}(M):=\sup_{\sigma}\inf\big\{\epsilon>0 \ \big| \ [\sigma]=0\in\pi_1(T_{\epsilon}(\sigma)) \big\}, $$

donde $T_{\epsilon}(\sigma)$ $\epsilon$- tubular vecindario alrededor de $\sigma$. Resulta que esto es útil para estimar el primer autovalor de un operador importante en el GR:

Thm: (Ver Prop. 1, Schoen-Yau (1983)) Supongamos $M$ es una de Riemann 3-colector y $\Omega\subset M$ es un dominio acotado. A continuación, el primer autovalor de a $-\nabla+\tfrac{R}{2}$ satisface:

$$ \lambda_1\leq \frac{2}{3\pi\cdot\text{Rad}^2(\Omega)}. $$

En cualquier caso, Yau comentó que uno podría, por supuesto, generalizar esta definición por la colocación de lazos con mayores dimensiones en las esferas:

Definimos la $i$radio $\text{Rad}_i(M)$ $M$ como:

$$ \text{Rad}_i(M):=\sup_{\sigma}\inf\big\{\epsilon>0 \ \big| \ [\sigma]=0\in\pi_i(T_{\epsilon}(\sigma)) \big\}, $$

Entonces la pregunta es:

$\fbox{$\textbf{Q: ¿Qué relación, si alguna, es la que hay entre los diversos } \text{Rad}_i(M)?$}$

Los pensamientos? Nada saltar como incluso probable para ser verdad?

Nota: por supuesto, uno podría también aumentar la dimensión de $M$ - la única razón para centrarse en 3-variedades aquí es porque, bueno, ellos tienden a ser más relevante para las personas que hacían GR, y muchos de los resultados de Yau fue debatido en esta conferencia depende de ciertas mapas de conformación, que solo era el caso (hablando en general) en este contexto.

Nota 2: a mí me parece que si nos centramos en un mapa de $\sigma:S^{i+1}\rightarrow M$ que es una isometría, y consideramos que la colección de $\sigma':S^i\rightarrow M$ (de nuevo centrándose en isometrías) sentado en el interior de (la imagen de) $\sigma$, $\sup$ sobre tales $\sigma'$ se obtendrá por la $\sigma'$ que son grandes círculos. En ese caso, el $\inf\{\epsilon\}$ será el mismo para ambos $\sigma$ $\sigma'$ ... y por lo que parece como $\text{Rad}_{i+1}(M)=\text{Rad}_i(M)$ (y un argumento inductivo que daría todas las $i$radios de acuerdo)... pero para general $\sigma:S^{k+1}\rightarrow M$ (que podría ser "lumpier") no es tan claro... hmm...

Answer 1

Como un caso especial, no es evidente la relación entre el$\mathrm{Rad}_1(M)$$\mathrm{Rad}_2(M)$. Por ejemplo:

1. Deje $M$ $\epsilon$- barrio de la $xy$-plano en $\mathbb{R}^3$. Entonces claramente $\mathrm{Rad}_1(M)$ es infinito, sino $\mathrm{Rad}_2(M)$ está en el orden de $\epsilon$, ya que cualquier imagen de una esfera en un plano es contráctiles.

2. Para el segundo ejemplo, considere la posibilidad de la unión de la forma esférica del cilindro $$ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \,=\, \epsilon^2,\qquad x_4 \geq 0 $$ en $\mathbb{R}^4$ con el balón $$ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \,\leq\, \epsilon^2,\qquad x_4 = 0. $$ Piense en esto como un infinito cilindro con una tapa, excepto en una dimensión superior, por lo que las secciones transversales del cilindro son las esferas, y la tapa es una pelota.

   Esto no es un suave colector, ya que hay un esférico "costura" en el lugar donde el cilindro está pegado a la pelota. Sin embargo, métricamente tiene la propiedad de que la $\mathrm{Rad}_2(M)$ es infinito (ya que se puede utilizar esférica secciones transversales con arbitrariamente grande, $x_4$ valor) mientras que $\mathbb{Rad}_1(M)$ está en el orden de $\epsilon$ (ya que cada uno esférica de la sección transversal de radio $\epsilon$ es simplemente conectado).

   No es difícil encontrar una $C^\infty$ colector en $\mathbb{R}^4$ con la misma forma básica, por ejemplo, el colector de $$ x_4 \;=\; \frac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}{\epsilon^2-x_1^2 - x_2^2 - x_3^2} \qquad\text{para}\qquad x_1^2+x_2^2+x_3^2 < \epsilon^2. $$