Si $\cos^4 \theta - \sin^4 \theta = x$. Encuentra $\cos^6 \theta - \sin^6 \theta$ en términos de $x$.

Question

Dado que $\cos^4 \theta \sin^4 \theta = x$, debo encontrar el valor de $\cos^6 \theta \sin^6 \theta$.

Esto es lo que hice: $\cos^4 \theta \sin^4 \theta = x$.

($\cos^2 \theta \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = x$

Por lo tanto ($\cos^2 \theta \sin^2 \theta) = x$, entonces $\cos 2\theta = x$.

Ahora $x^3 = (\cos^2 \theta \sin^2 \theta)^3 = \cos^6 \theta - \sin^6 \theta + 3 \sin^4 \theta \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta \cos^4 \theta$

Entonces, si puedo encontrar el valor de $3 \sin^4 \theta \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta \cos^4 \theta$ en términos de $x$, la pregunta estará resuelta. ¿Pero cómo hacer eso?

Answer 1

Tienes $$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$ $$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = x$$ Sumando y restando las dos ecuaciones tenemos $$\cos^2 \theta = {1 + x \over 2}$$ $$\sin^2 \theta = {1 - x \over 2}$$ Sustituyendo tenemos $$\cos^6 \theta - \sin^6 \theta = \bigg({1 + x \over 2}\bigg)^3 - \bigg({1 - x \over 2}\bigg)^3$$ $$ = {3 \over 4} x + {1 \over 4} x^3$$

Answer 2

$$ \cos^6\theta-\sin^6\theta = \left ( \cos^2 \theta\right )^3 - \left (\sin^2 \theta \right )^3 = \\ = \left( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta\right ) \left(\cos^4 \theta + \sin^2\theta \cos^2\theta + \sin^4\theta \right ) = \\ = x \left ( \cos^4 \theta - 2\cos^2\theta\sin^2\theta + \sin^4 \theta + 3 \cos^2\theta\sin^2\theta\right ) = \\ = x \left( \left(\cos^2\theta - \sin^2 \theta \right )^2 + \frac 34 \sin^22\theta\right ) = x \left( x^2 + \frac 34 \left( 1-\cos^2 2\theta\right )\right ) = \\ = x \left(x^2 + \frac 34 (1-x^2) \right ) = \frac x4 \left(x^2+3 \right ) $$

Answer 3

Para facilitar la escritura, consideremos $a=\cos^2\theta$ y $b=\sin^2\theta$. Por lo tanto, $a+b=1$. Nos dicen que $a^2-b^2=x$, o equivalentemente que $a-b=x.

Queremos encontrar $a^3-b^3$. Será suficiente encontrar $a^2+ab+b^2$. Observa la identidad $$4(a^2+ab+b^2)=3(a+b)^2+(a-b)^2.$$

Observación: Para otros problemas de carácter similar, podría ser preferible extraer $ab$ de la identidad $4ab=(a+b)^2-(a-b)^2$, y usar técnicas estándar para expresar funciones simétricas de $a$ y $b$ en términos de las funciones simétricas elementales $a+b$ y $ab$.

Answer 4

Sería más fácil si descompones $\cos^6 \theta -\sin^6 \theta$ en $(\cos^2 \theta -\sin^2 \theta)(\cos^4 \theta +\cos^2 \theta \sin^2 \theta+\sin^4 \theta)$

Answer 5

Como ya se encontró $\cos^2\theta-\sin^2\theta=x,\implies \cos2\theta=x$

Usando $a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b),$

$$\cos^6\theta-\sin^6\theta=(\cos^2\theta)^3-(\sin^2\theta)^3$$

$$=(\cos^2\theta-\sin^2\theta)^3+3\cos^2\theta\sin^2\theta(\cos^2\theta-\sin^2\theta) $$

$$=x^3+3x\cos^2\theta\sin^2\theta$$

$$=x^3+\frac{3x}4\sin^22\theta\text{ como }\sin2A=2\sin A\cos A$$

$$=x^3+\frac{3x}4(1-\cos^22\theta)$$

$$=x^3+\frac{3x}4(1-x^2)=\frac{4x^3+3x-3x^3}4=\frac{x(x^2+3)}4$$