He aquí una solución (al ejercicio "demuestre que si $X$ es un espacio con más de un elemento, y es normal y conexo entonces $X$ es incontable"):
por el lema de Urysohn, dado $A$ y $B$ cerradas y disjuntas en $X$ existe una función continua de $X$ en $[0,1]$ tal que $f(A)={0}, f(B)={1}$ .
Si $X$ fueran contables, entonces sería $f(X)\subset [0,1]$ elegir $r\in (0,1)\setminus f(X)$ entonces $X=f^{-1}([0,r))\cup f^{-1}((r,1])$ Así que $X$ está desconectado.
Pero no se utilizó toda la potencia del lema, todo lo que se utilizó es que existe una función continua $X\longrightarrow [0,1]$ así que la condición de ser normal parece demasiado.
Así que mi pregunta es, ¿cuáles son las condiciones más débiles en $X$ para la existencia de tales funciones continuas en $[0,1]$ (o $\mathbb{R}$ ).
