Esta una cosa rara que me molesta de suma y similares

Question

La mayoría de nosotros sabe que $$\sum_{n=a}^b c_n=c_a+c_ {+1}...+c_{b-1}+c_b$$ Algunos de nosotros sabemos que $$\prod_{n=a}^b c_n=c_a \cdot c_ {+1}...c_{b-1} \cdot c_{b}$$ Algunos de nosotros sabe que $$\underset{j=a}{\desbordado{b}{\LARGE\mathrm K}}\frac{a_j}{b_j}=\cfrac{a_1}{b_1+\cfrac{a_2}{b_2+\cfrac{a_3}{b_3+\ddots}}}$$ Unos pocos están familiarizados con $$\underset{j=1}{\desbordado{b}{\LARGE\mathrm E}} \ c_n={c_a}^{{.}^{{.}^{c_b}}}$$ Todo lo anterior está relacionado por la diferencia de las ecuaciones de la forma $$f(n+1)=g(f(n))$$ De hecho, iría tan lejos como para decir todo lo anterior y más, pueden ser vinculados con la siguiente notación (a afirmar composición) $$\underset{n=1}{\desbordado{k}{\LARGE\mathrm F}} \ f(n,x)=f(1,f(2,f(3,...f(n,x)...)))$$ (Cabe señalar que, además de los puntos mencionados anteriormente, el método de newton, de Mandelbrot ecuación y ecuación logística caen en esta categoría, por lo que esta notación ha increíble generalidad)

Preguntas: se Puede derivar de Taylor como los métodos que permiten la expresión de muchas de las funciones en términos de estas otras formas menos conocidas de la recursividad? ¿Esto juega un papel en por qué las sumatorias son más famosa de estas otras formas de recursividad?

Es la convergencia de un problema, la mayoría de la gente está familiarizada que una vez que usted se mueve en ecuaciones de diferencia de que empiece a tener que lidiar con problemas como el caos. Qué formas de recursividad preservar la convergencia? Es este un factor por el que no utilizamos otras cosas además de la suma?

Es un problema histórico. ¿La razón por la suma está más famosos tienen que ver con la integración. ¿Esto sugiere que hay una forma ALTERNATIVA de integrar? Por ejemplo, puede un infinito producto posiblemente integrar una función en la misma expresión como un estándar de la integral? En otras palabras, se puede desarrollar un análogo integral con las anteriores formulaciones (excepto el producto integral, ya que no es equivalente). Teniendo en cuenta la multiplicación puede producir áreas de cuadrados y cubos, no se mucho de un tramo, a la derecha? Estoy muy interesado en esa posibilidad.

Preferencias: me gustaría referencias y ejemplos. No estoy muy interesado en el "esto no es posible" tipo de retórica, pero voy a aceptar las pruebas que refutan la existencia de los puntos mencionados anteriormente.

Answer 1

Tal vez https://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_function#Some_formulas_for_fractional_iteration y https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation puede aportar algo de luz, pero creo que es fácil encontrarse a sí mismo perdido en un mayor nivel de abstracción, sin buenas referencias o ejemplos concretos.