$\chi(g)$ grupo de caracteres $\Rightarrow$ $\chi(g^m)$ grupo de caracteres

Question

Deje $G$ ser un grupo de orden $n$ e e $\gcd(m,n)=1$. Deje $\chi:G\rightarrow\mathbb{C}$ ser una función de la clase y definir $\chi^m\!: g\mapsto\chi(g^m)$. Cómo puede uno demostrar que $\chi^m$ es un personaje iff $\chi$ es un personaje y que $\chi^m$ es irreductible iff $\chi$ es irreducible?

Ya es una función de la clase, por lo que es un $\mathbb{C}$-combinación lineal de caracteres irreducibles de $\chi_1,\ldots,\chi_r$. Por lo tanto, es suficiente para mostrar que, para $\langle\chi,\chi_i\rangle=\frac{1}{n}\sum_{g\in G}\chi(g)\chi_i(g^{-1})$ tenemos:

1. $\forall i\!: \langle\chi,\chi_i\rangle\in\mathbb{N}$ fib $\forall i\!: \langle\chi^m,\chi_i\rangle\in\mathbb{N}$;
2. $\forall i\!: \langle\chi,\chi_i\rangle\in\{0,1\}$ fib $\forall i\!: \langle\chi^m,\chi_i\rangle\in\{0,1\}$.

Desde $\gcd(m,n)=1$,$k,l$$km+ln=1$, por lo que el mapa de $G\to G,g\mapsto g^m$ es surjective ( $g=g^{km+ln}=g^{km}=(g^{k})^{m}$ ), de ahí bijective (desde $G$ es finito) y permutes clases conjugacy.

Alguna sugerencia?

Answer 1

Deje $\rho: G \rightarrow \operatorname{GL}_r(\mathbb{C})$ ser una representación que configuran el carácter $\chi$.

Como anon notas en los comentarios, ya que $(m,n) = 1$ existe $\sigma\in{\rm Gal}(\Bbb Q(\zeta)/\Bbb Q)$ tal que $\sigma(\zeta) = \zeta^m$ donde $\zeta$ es una primitiva $n$th raíz de la unidad. Podemos extender $\sigma$ a un campo automorphism de un campo que contiene cada entrada de $\rho(g)$ todos los $g \in G$. A partir de esto, podemos definir un homomorphism $\sigma: \operatorname{Im}(\rho) \rightarrow \operatorname{GL}_r(\mathbb{C})$ $\sigma(A)_{ij} = \sigma(A_{ij})$ todos los $A \in \operatorname{GL}_r(\mathbb{C})$.

A continuación, $\sigma \circ \rho$ es una representación que confiere el carácter $\chi^m$.

Esto demuestra que $\chi^m$ es un personaje al $\chi$ es un personaje, y a la inversa de la siguiente manera desde el mismo resultado.

Desde $g \mapsto g^m$ es un bijection $G \rightarrow G$, obtenemos que $\langle \chi, \chi \rangle = 1$ si y sólo si $\langle \chi^m, \chi^m \rangle = 1$. En otras palabras, $\chi$ es una irreductible carácter si y sólo si $\chi^m$ es una irreductible carácter.