Hago la siguiente conjetura: la función $$ d(x, y):=\frac{||x-y||}{\max(||x||, ||y||)} $$ es una distancia en $H$ donde $H$ es una normativa espacio vectorial o un espacio de Hilbert, y $x, y \in H$ (la función de $d$ se define a ser $0$ en el caso de $x=y=0$). Tenga en cuenta que $d$ es la escala invariante, es decir, $d(\lambda x, \lambda y)=d(x, y)$$0 \neq \lambda \in \mathbb{R}$. La propiedad de $d$ que necesita ser explícitamente probar o refutar es la desigualdad de triángulo $$ d(x, y) \leq d(x,z)+d(z,y). $$ El triángulo de la desigualdad (TI) puede ser fácilmente demostrado por $H=\mathbb{R}$; además, debido a la invariancia de escala, es suficiente para demostrar que para $||x||,||y||, ||z|| \leq 1$. La TI ha sido numéricamente probado por un programa que ha generado $10^8$ tripletas de puntos aleatorios uniformemente distribuidos en $[-1, 1]^3$, y el mismo número en $[-1,1]^6$: todos los generados triples de satisfacción de la TI. Esta prueba se apoya, por tanto, la conjetura de $H=\mathbb{R}^3$$H=\mathbb{R}^6$. Desde el subespacio generado por los tres vectores linealmente independientes de un real (complejo) espacio de Hilbert es isométricamente isomorfo a $\mathbb{R}^3$ ($\mathbb{R}^6$), el test numérico apoya la conjetura también para genérica de un espacio de Hilbert*.
Sabe alguien si esta conjetura ha sido ya demostrada, o es capaz de demostrar (o refutar)?
- Antes de publicar esta pregunta, he intercambiado algunas de correo electrónico con el prof. Egor Makimenko, del Instituto Politécnico Nacional, México. Yo lo hice por mí mismo un programa para el test numérico de la TI, pero la prueba citados ha sido realizada por un programa que el prof. Maximenko me envió. Por otra parte, la generalización de $\mathbb{R}^3$-$\mathbb{R}^6$ para genérica de un espacio de Hilbert es debido a la prof. Maximenko.
