Explícito fórmula para el curvaure de una conexión

Question

Deje $E$ ser un vector paquete de más de $M$ y denotan por $\mathcal{A}^k(E)$ el espacio de secciones de $\Lambda^k (TM)^* \otimes E$, es decir, el espacio de $k$-formas con valores en $E$.

Una conexión de $\nabla:\mathcal{A}^0(E) \to \mathcal{A}^1(E)$ se extiende a un mapa de $\nabla:\mathcal{A}^k(E) \to \mathcal{A}^{k+1}(E)$ mediante el establecimiento $\nabla(\alpha \otimes s)= d \alpha \otimes s + (-1)^k \alpha \wedge\nabla s$ y podemos definir la curvatura de $\nabla$ como la composición de la $F_\nabla=\nabla \circ \nabla: \mathcal{A}^0(E) \to \mathcal{A}^2(E)$.

A partir de la regla de Leibniz, uno puede ver que $F_{\nabla}(fs) = f F_{\nabla}(s)$ y por lo tanto, podemos ver $F_\nabla$ como un elemento de $\mathcal{A}^2(\text{End}(E))$ ($F_\nabla$ evaluados en un par de vectores tangente es el endomorfismo $s \mapsto F_\nabla(X,Y)(s)$.

Mi pregunta es si la fórmula $F_{\nabla}(X,Y) = \nabla_X \nabla_Y - \nabla_Y \nabla_Y - \nabla_{[X,Y]}$ es cierto.

He podido demostrar que cuando se $E=TM$ $\nabla$ es una torsión de conexión (porque en ese caso tenemos una fórmula que relacione el exterior derivado con $\nabla$), pero no sé cómo lidiar con el caso general.

Answer 1

Creo que he encontrado una alternativa de cálculo. ¿Alguien puede decirme si esto es correcto?

Deje $s\in \mathcal A^0(E)$ una sección y considerar la posibilidad de $\nabla s \in \mathcal A^1(E)$. Por linealidad podemos suponer que la $\nabla s = \alpha \otimes t$ $\alpha$ una 1-forma y, por tanto,$\nabla_X s = \alpha(X)t$.

Si $X,Y$ son campos vectoriales, el invariante de la fórmula para el exterior derivado de da $d \alpha (X,Y)= X \alpha(Y) - Y\alpha(X) - \alpha([X,Y])$ y por lo tanto

$F_\nabla(X,Y)(s) = \nabla(\alpha \otimes t)(X,Y) = (d \alpha \otimes t - \alpha \wedge \nabla t)(X,Y)$

$=(d \alpha)(X,Y)t - \alpha(X) \nabla_Y t + \alpha(Y) \nabla_X t$

$= [X \alpha(Y) - Y\alpha(X) - \alpha([X,Y])]t - \alpha(X) \nabla_Y t + \alpha(Y) \nabla_X t$

$= (X \alpha(Y))t + \alpha(Y)\nabla_X t - (Y \alpha(X))t - \alpha(X)\nabla_Y t - \alpha([X,Y])t$

$= \nabla_X (\alpha(Y) t) - \nabla_Y(\alpha(X) t) - \alpha([X,Y])t$

$=\nabla_X \nabla_Y s - \nabla_Y \nabla_X s- \nabla_{[X,Y]}s.$

Answer 2

Respuesta corta: la fórmula es verdadera. Respuesta larga: consulte a continuación para el cálculo.

Elija coordenadas locales $(x^1, \ldots, x^n)$ y un local de campo marco de $(e_1, \ldots, e_r)$$E$, ambas sobre el barrio de $U$, y vamos a $\newcommand{\Tud}[3]{{#1}^{#2}_{\phantom{#2}{#3}}}$ $$\nabla e_\mu = \Tud{\omega}{\nu}{\mu} \otimes e_\nu$$ para algunos $\Tud{\omega}{\nu}{\mu} \in \Omega^1(U)$. (Estoy usando el convenio de sumación para índices repetidos.) Deje $\Tud{\Omega}{\nu}{\mu} \in \Omega^2(U)$ ser tal que $$\nabla \nabla e_\mu = \Tud{\Omega}{\nu}{\mu} \otimes e_\nu$$ Ahora, por la regla de Leibniz, tenemos $$\nabla \nabla e_\mu = \mathrm{d}\Tud{\omega}{\nu}{\mu} \otimes e_\nu - \Tud{\omega}{\nu}{\mu} \wedge \Tud{\omega}{\rho}{\nu} \otimes e_\rho$$ por lo tanto, $$\Tud{\Omega}{\nu}{\mu} = \mathrm{d}\Tud{\omega}{\nu}{\mu} + \Tud{\omega}{\nu}{\rho} \wedge \Tud{\omega}{\rho}{\mu}$$

Desde $$\nabla (W^\mu e_\mu) = \mathrm{d} W^\mu \otimes e_\mu + W^\mu \Tud{\omega}{\nu}{\mu} \otimes e_\nu$$ tenemos $$\nabla \nabla (W^\mu e_\mu) = \mathrm{d} W^\mu \wedge \Tud{\omega}{\nu}{\mu} \otimes e_\nu + W^\mu \, \mathrm{d} \Tud{\omega}{\nu}{\mu} \otimes e_\nu - \mathrm{d}W^\mu \wedge \Tud{\omega}{\nu}{\mu} \otimes e_\nu - W^\mu \Tud{\omega}{\nu}{\mu} \wedge \Tud{\omega}{\rho}{\nu} \otimes e_\rho$$ por lo tanto, $\nabla \nabla$ es, de hecho, $C^\infty(U)$- lineal, con $$\nabla \nabla (W^\mu e_\mu) = W^\mu \Tud{\Omega}{\nu}{\mu} \otimes e_\nu = W^\mu \nabla \nabla e_\mu$$ Esto significa que sólo se necesita comprobar la fórmula para el marco de campo en lugar de arbitrario secciones de $E$.

Ahora, observa que, si $X$ $Y$ son campos vectoriales, $$\begin{align} \nabla_X \nabla_Y e_\mu = \nabla_X ( \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , Y \rangle e_\nu) & = \langle \mathrm{d} \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , Y \rangle, X \rangle e_\nu + \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , Y \rangle \langle \Tud{\omega}{\rho}{\nu} , X \rangle e_\rho \\ \nabla_Y \nabla_X e_\mu = \nabla_Y ( \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , Y \rangle e_\nu) & = \langle \mathrm{d} \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , X \rangle, Y \rangle e_\nu + \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , X \rangle \langle \Tud{\omega}{\rho}{\nu} , Y \rangle e_\rho \\ \nabla_{[X, Y]} e_\mu & = \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , [X, Y] \rangle e_\nu \end{align}$$ donde he escrito $\langle - , - \rangle$ para el canónica de emparejamiento de una 1-forma y un campo de vectores. Así tenemos $$\begin{align} (\nabla_X \nabla_Y - \nabla_Y \nabla_X - \nabla_{[X, Y]}) e_\mu & = (\langle \mathrm{d} \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , Y \rangle, X \rangle - \langle \mathrm{d} \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , X \rangle, Y \rangle - \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , [X, Y] \rangle) \, e_\nu \\ & \phantom{=} + (\langle \Tud{\omega}{\nu}{\rho} , X \rangle \langle \Tud{\omega}{\rho}{\mu} , Y \rangle - \langle \Tud{\omega}{\nu}{\rho} , Y \rangle \langle \Tud{\omega}{\rho}{\mu} , X \rangle) \, e_\nu \end{align}$$ mientras que en el otro lado $$\Tud{\Omega}{\nu}{\mu} (X, Y) = \langle \Tud{\Omega}{\nu}{\mu} , X \wedge Y \rangle = \langle \mathrm{d}\Tud{\omega}{\nu}{\mu} , X \wedge Y \rangle + \langle \Tud{\omega}{\nu}{\rho} \wedge \Tud{\omega}{\rho}{\mu} , X \wedge Y \rangle$$ pero por Cartan la fórmula para el exterior de derivados $$\langle \mathrm{d}\Tud{\omega}{\nu}{\mu} , X \wedge Y \rangle = \langle \mathrm{d} \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , Y \rangle , X \rangle - \langle \mathrm{d} \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , X \rangle , Y \rangle - \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , [X, Y] \rangle$$ Ahora, por definición $$\langle \Tud{\omega}{\nu}{\rho} \wedge \Tud{\omega}{\rho}{\mu} , X \wedge Y \rangle = \langle \Tud{\omega}{\nu}{\rho} , X \rangle \langle \Tud{\omega}{\rho}{\mu}, Y \rangle - \langle \Tud{\omega}{\nu}{\rho} , Y \rangle \langle \Tud{\omega}{\rho}{\mu}, X \rangle$$ y así $$\Tud{\Omega}{\nu}{\mu} (X, Y) e_\nu = (\nabla_X \nabla_Y - \nabla_Y \nabla_X - \nabla_{[X, Y]}) e_\mu$$ que es exactamente lo que queremos.