Respuesta corta: la fórmula es verdadera. Respuesta larga: consulte a continuación para el cálculo.
Elija coordenadas locales $(x^1, \ldots, x^n)$ y un local de campo marco de $(e_1, \ldots, e_r)$$E$, ambas sobre el barrio de $U$, y vamos a
$\newcommand{\Tud}[3]{{#1}^{#2}_{\phantom{#2}{#3}}}$
$$\nabla e_\mu = \Tud{\omega}{\nu}{\mu} \otimes e_\nu$$
para algunos $\Tud{\omega}{\nu}{\mu} \in \Omega^1(U)$. (Estoy usando el convenio de sumación para índices repetidos.) Deje $\Tud{\Omega}{\nu}{\mu} \in \Omega^2(U)$ ser tal que
$$\nabla \nabla e_\mu = \Tud{\Omega}{\nu}{\mu} \otimes e_\nu$$
Ahora, por la regla de Leibniz, tenemos
$$\nabla \nabla e_\mu = \mathrm{d}\Tud{\omega}{\nu}{\mu} \otimes e_\nu - \Tud{\omega}{\nu}{\mu} \wedge \Tud{\omega}{\rho}{\nu} \otimes e_\rho$$
por lo tanto,
$$\Tud{\Omega}{\nu}{\mu} = \mathrm{d}\Tud{\omega}{\nu}{\mu} + \Tud{\omega}{\nu}{\rho} \wedge \Tud{\omega}{\rho}{\mu}$$
Desde
$$\nabla (W^\mu e_\mu) = \mathrm{d} W^\mu \otimes e_\mu + W^\mu \Tud{\omega}{\nu}{\mu} \otimes e_\nu$$
tenemos
$$\nabla \nabla (W^\mu e_\mu) = \mathrm{d} W^\mu \wedge \Tud{\omega}{\nu}{\mu} \otimes e_\nu + W^\mu \, \mathrm{d} \Tud{\omega}{\nu}{\mu} \otimes e_\nu - \mathrm{d}W^\mu \wedge \Tud{\omega}{\nu}{\mu} \otimes e_\nu - W^\mu \Tud{\omega}{\nu}{\mu} \wedge \Tud{\omega}{\rho}{\nu} \otimes e_\rho$$
por lo tanto, $\nabla \nabla$ es, de hecho, $C^\infty(U)$- lineal, con
$$\nabla \nabla (W^\mu e_\mu) = W^\mu \Tud{\Omega}{\nu}{\mu} \otimes e_\nu = W^\mu \nabla \nabla e_\mu$$
Esto significa que sólo se necesita comprobar la fórmula para el marco de campo en lugar de arbitrario secciones de $E$.
Ahora, observa que, si $X$ $Y$ son campos vectoriales,
$$\begin{align}
\nabla_X \nabla_Y e_\mu = \nabla_X ( \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , Y \rangle e_\nu) & = \langle \mathrm{d} \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , Y \rangle, X \rangle e_\nu + \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , Y \rangle \langle \Tud{\omega}{\rho}{\nu} , X \rangle e_\rho \\
\nabla_Y \nabla_X e_\mu = \nabla_Y ( \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , Y \rangle e_\nu) & = \langle \mathrm{d} \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , X \rangle, Y \rangle e_\nu + \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , X \rangle \langle \Tud{\omega}{\rho}{\nu} , Y \rangle e_\rho \\
\nabla_{[X, Y]} e_\mu & = \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , [X, Y] \rangle e_\nu
\end{align}$$
donde he escrito $\langle - , - \rangle$ para el canónica de emparejamiento de una 1-forma y un campo de vectores. Así tenemos
$$\begin{align}
(\nabla_X \nabla_Y - \nabla_Y \nabla_X - \nabla_{[X, Y]}) e_\mu & = (\langle \mathrm{d} \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , Y \rangle, X \rangle - \langle \mathrm{d} \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , X \rangle, Y \rangle - \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , [X, Y] \rangle) \, e_\nu \\
& \phantom{=} + (\langle \Tud{\omega}{\nu}{\rho} , X \rangle \langle \Tud{\omega}{\rho}{\mu} , Y \rangle - \langle \Tud{\omega}{\nu}{\rho} , Y \rangle \langle \Tud{\omega}{\rho}{\mu} , X \rangle) \, e_\nu
\end{align}$$
mientras que en el otro lado
$$\Tud{\Omega}{\nu}{\mu} (X, Y) = \langle \Tud{\Omega}{\nu}{\mu} , X \wedge Y \rangle = \langle \mathrm{d}\Tud{\omega}{\nu}{\mu} , X \wedge Y \rangle + \langle \Tud{\omega}{\nu}{\rho} \wedge \Tud{\omega}{\rho}{\mu} , X \wedge Y \rangle$$
pero por Cartan la fórmula para el exterior de derivados
$$\langle \mathrm{d}\Tud{\omega}{\nu}{\mu} , X \wedge Y \rangle = \langle \mathrm{d} \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , Y \rangle , X \rangle - \langle \mathrm{d} \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , X \rangle , Y \rangle - \langle \Tud{\omega}{\nu}{\mu} , [X, Y] \rangle$$
Ahora, por definición
$$\langle \Tud{\omega}{\nu}{\rho} \wedge \Tud{\omega}{\rho}{\mu} , X \wedge Y \rangle = \langle \Tud{\omega}{\nu}{\rho} , X \rangle \langle \Tud{\omega}{\rho}{\mu}, Y \rangle - \langle \Tud{\omega}{\nu}{\rho} , Y \rangle \langle \Tud{\omega}{\rho}{\mu}, X \rangle $$
y así
$$\Tud{\Omega}{\nu}{\mu} (X, Y) e_\nu = (\nabla_X \nabla_Y - \nabla_Y \nabla_X - \nabla_{[X, Y]}) e_\mu $$
que es exactamente lo que queremos.