¿Cuál es el origen del factor de $-1/4$ en el lagrangiano de Maxwell?

Question

He visto numerosas "derivaciones" del lagrangiano de Maxwell,

$$\mathcal{L} ~=~ -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu},$$

pero cada uno ha insertado disimuladamente un factor de $-1/4$ sin explicar por qué. Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las mismas independientemente de la constante que pongamos delante de la contracción de los tensores de intensidad de campo, así que ¿por qué el factor de $-1/4$ ?

Answer 1

Comentarios a la pregunta:

1. En primer lugar hay que destacar, como hace OP, que las ecuaciones de Euler-Lagrange (= ecuaciones clásicas del movimiento = ecuaciones de Maxwell) no se ven afectadas por el escalado de la acción $S[A]$ con una constante global (no nula). Así que, clásicamente, se puede elegir cualquier normalización global que se desee.

2. Como menciona Frederic Brünner una normalización de la $J^{\mu}A_{\mu}$ término de origen con una constante de normalización $\pm N$ va de la mano de un $-\frac{N}{4}$ normalización de la $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ término. Aquí la firma de la métrica de Minkowski es $(\mp,\pm,\pm,\pm)$ .

3. Recordemos que las variables fundamentales de la formulación lagrangiana son las $4$ -Potencial de calibre $A_{\mu}$ . Aquí $A_{0}$ es un multiplicador de Lagrange no dinámico. Las variables dinámicas de la teoría son $A_1$ , $A_2$ y $A_3$ . El $$-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}~=~\underbrace{\frac{1}{2} \sum_{i=1}^3\dot{A}_i\dot{A}_i}_{\text{kinetic term}}+\ldots$$ es sólo el estándar $+\frac{1}{2}$ normalización de un término cinético en la teoría de campos. En particular, nótese que el término cinético es positivo definido para no romper unitaridad .

Answer 2

El factor está ahí para que una vez que se añada un término de origen, es decir $J^\mu A_\mu, $ se obtienen las ecuaciones de movimiento correctas, es decir, las ecuaciones de Maxwell:

$\partial_\nu F^{\mu\nu}=J^\mu.$

Además, esta convención produce el habitual $1/2$ delante del término cinético de los campos gauge.

Answer 3

Lo interesante es que con el factor -1/4 $$ \mathcal L =-\frac 1 4 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}= \frac 1 2 (\mathbf E^2- \mathbf B^2)\;, $$ A partir de esto aproximadamente tienen $$\mathcal H =\frac 1 2 (\mathbf E^2+ \mathbf B^2)\;, $$ que es consistente con la energía del campo EM $^{[1]}$ $$U=\frac 1 2 \int \big( \epsilon_0 \mathbf E^2 + \frac 1 {\mu_0}\mathbf B^2 \big) d\tau \;.$$

Referencias

[1] D.J. Griffiths, Introducción a la electrodinámica Cuarta edición (Véase el material del reverso)