Evaluar series con denominador factorial (comprobación de cordura).

Question

¿Es correcto mi enfoque para evaluar esta serie?

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)!}$$

Tiene una suma parcial equivalente a:

$$S_m = \sum_{n=1}^m \frac{n}{(n+1)!} = \sum_{j=2}^{m+1} \frac{j-1}{j!} = \sum_{j=2}^{m+1} \frac{1}{(j-1)!} - \sum_{j=2}^{m+1} \frac{1}{j!} $$

Para $j$ tal que $m+1>j>2$ los términos de la suma de la izquierda se cancelan con los términos de la derecha, dejando

$$ S_m =1-\frac{1}{(m+1)!}$$

Por lo tanto, $ \lim_{m\rightarrow\infty} S_m = 1$

Disculpas por esto. El libro que estoy utilizando no ofrece nada sobre series con denominadores factoriales (todavía). Gracias.

Answer 1

Su solución no sólo es correcta, sino también muy bonita.

Una vez que se conoce la forma cerrada de la suma parcial, también se puede demostrar por inducción, empezando por $S_1=1-1/2=1/2$ y dando el paso de la inducción

$$ \begin{align} S_{m+1}&=S_m+\frac{m+1}{(m+2)!} \\ &=1-\frac1{(m+1)!}+\frac{m+1}{(m+2)!} \\ &=1+\frac{m+1-(m+2)}{(m+2)!} \\ &=1-\frac1{(m+2)!}\;. \end{align} $$

Answer 2

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)!}$$ = $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n+1-1}{(n+1)!}$$ = $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}$$