Matemáticas sin el infinito

Question

¿Las matemáticas requieren de un concepto de infinito?

Por ejemplo, si yo quería tomar el límite de $f(x)$ $x \rightarrow \infty$, yo podría utilizar la sustitución $x=1/y$ y tomar el límite de $y\rightarrow 0^+$.

Hay una declaración que puede ser afirmado sin el uso de cualquier concepto de infinito, pero que inevitablemente requiere ser demostrado?

Answer 1

Sorprendentemente, el infinito resulta necesario incluso para finito de combinatoria matemática. Para una buena explicación de por qué no puede ser como cualquier cosa como una integral, autónomo de disciplina de la finitos combinatoria matemática véase Stephen G. Simpson valoración crítica de su exposición hablar Improbable Teoremas y de Rápido Crecimiento de Funciones, Contemporáneo de Matemáticas. 65 1987, 359-394.

Simpson da una explicación detallada de los tres teoremas sobre finito de objetos cuya las pruebas requieren necesariamente el uso de conjuntos infinitos. Los tres teoremas discuten acerca de los colorantes finito de conjuntos (modificado finito teorema de Ramsey), incrustaciones de finito de árboles (Friedman forma finita de Kruskal del teorema) y reiteró la notación exponencial para los números enteros (Goodstein del teorema).

A continuación es un extracto de la introducción.

$\quad$El propósito de la charla es exposit algunos resultados recientes (1977 y posterior) en la que la lógica matemática ha incidido sobre combinatoria finita. Como la mayoría de la buena investigación en lógica matemática, los resultados que estoy vamos a discutir tuvieron su origen en los problemas filosóficos relativos a la fundamentos de las matemáticas. Específicamente, los resultados aquí discutidos fueron inspirada por la siguiente pregunta filosófica. Podría no ser un cosa como una integral, autónomo de disciplina de la finitos combinatoria matemática?
$\quad$ es bien sabido que una gran cantidad de razonar acerca de finito la combinatoria de las estructuras pueden ser llevadas a cabo en un auto-contenida finitary manera, es decir, sin referencia alguna a los conjuntos infinitos o estructuras. Yo tener en cuenta toda las ramas de las matemáticas como finita de la teoría de grafos, finito de celosía teoría, finito geometrías, los diseños de bloque, gran parte de finita de la teoría de grupo (excluyendo los de carácter teórico, en el cual se hace uso de el campo de los números complejos), y gran parte de la teoría de los números (incluyendo la primaria partes, pero excluyendo las técnicas analíticas, tales como contorno las integrales). Uno se puede imaginar integral de los libros de texto de estas temas en los cuales los conjuntos infinitos nunca se menciona, aunque de forma tangencial. Todo el razonamiento que en dichos libros de texto se refiere exclusivamente con finito de conjuntos y estructuras.
$\quad$ en consecuencia, hay una fuerte ingenua impresión de que la respuesta a nuestro mencionada pregunta filosófica es "sí".
$\quad$ sin Embargo, ingenuo, las impresiones pueden ser engañosas. Voy a discutir tres recientes resultados de la lógica matemática que apuntan a una respuesta de "no." Es decir, voy a presentar tres ejemplos de combinatoria de teoremas que son finitistic en sus declaraciones, pero no en sus pruebas. Cada uno de los tres teoremas es simple y elegante, que se refiere sólo a lo finito estructuras. Cada uno de los tres teoremas tiene una simple y elegante de la prueba. El único problema es que cada una de las pruebas que utiliza un conjunto infinito en algunos un punto crucial. Por otra parte, la profunda lógica investigaciones han demostrado que el conjuntos infinitos son, de hecho, indispensable. Cualquier prueba de uno de estos finitos combinatoria teoremas debe implicar un desvío a través del infinito. Por lo tanto, en un fuerte sentido relativo, los tres teoremas son "improbable" -- no puede ser probado por medio de la combinatoria finita consideraciones en los términos que se indican.

Answer 2

¿Las matemáticas requieren de un $\infty$? Esto supone que todos los de matemáticas de alguna manera está regida por un solo conjunto universal de las normas acordadas, tales como si el infinito es un concepto necesario o no. Este no es el caso.

Yo podría reclamar que las matemáticas no requieren de nada, a pesar de que un matemático requiere de muchas cosas (como el café y el papel que se convierten en teoremas, etc, etc). Pero este es un afilado (como una aguda desigualdad) concepto, y no quiero correr conversación fuera un valioso camino.

Así que no voy a reclamar el siguiente: hay ramas de las matemáticas que se basan en el infinito, y otras ramas que no. Pero la mayoría de las ramas confiar en el infinito. Lo que en este sentido, creo que la mayoría de las matemáticas que se practica cada día se basa en un sistema de lógica y un conjunto de axiomas que incluyen infinitos de diversas maneras.

Tal vez una pregunta diferente que es más fácil de responder es - "¿por Qué las matemáticas tienen el concepto de infinito?" Para esto, tengo una muy rápida respuesta debido a que $\infty$ es útil. Se le permite llevar más límites, permite a las reglas más generales a ser establecidas, y permite un mayor juego para campos como la Topología y el Análisis.

Y, por cierto - en su pregunta usted distinguir entre $\lim _{x \to \infty} f(x)$ y $\lim _{y \to 0} f(\frac{1}{y})$. Sólo porque nos escondemos detrás de una delgada cortina, es decir, pretender que $\lim_{y \to 0} \frac{1}{y}$ es simplemente otro nombre para el infinito, no significa que realmente estamos evitando conceptual infinito.

Así que, para concluir, puedo decir que las matemáticas no se requieren $\infty$. Si de alguna manera, nadie imaginó cuán grandes cosas 'allí', o considerar preguntas como ¿cuántas funciones hay de los enteros a tal conjunto, matemáticas aún iba en. Pero es muy útil, y hay pocas razones para ignorar su existencia.

Answer 3

Hay muchos diferentes nociones de "infinito" en matemáticas, y no se ha definido lo que significa el infinito, así que tu pregunta no tiene una bien definida la respuesta. Pero permítanme tratar de interpretar tu pregunta de la forma que pienso que eso significaba, y tratar de aclarar som confusión.

Permítanme en primer lugar el estado que en la mayoría de la corriente principal de las matemáticas, el símbolo $\infty$ es simplemente la notación, y no un verdadero objeto.

1. Por ejemplo, cuando decimos que el tamaño del conjunto $\mathbb R$ de números reales es "infinito", simplemente queremos decir que no es finito, es decir, no contiene exactamente un número entero de elementos. Nada más mágico que eso. No queremos decir que contiene exactamente algunos número $\infty$ de elementos.

2. Para otro ejemplo, cuando decimos que $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$, no queremos decir que el límite es igual a algún número $\infty$ cuando $x$ enfoques ese mismo número, $\infty$. El límite de la notación $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ es en realidad un caso especial, y necesita su propia definición, a diferencia de la definición de $\lim_{x\a}f(x)=b$ donde $a,b$ son números reales. Por definición, la notación $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ significa que podemos hacer $f(x)$ mayor que el de cualquier número dado $N$ por dejar que $x$ ser mayor que un cierto número $M$ en función de $N$. (La definición formal es de $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ si y sólo si $\forall N>0\existe M>0: x>M\implica f(x)>N.$) En esta definición, no hay ninguna mención de cualquier objeto llamado $\infty$. Esta es una distinción importante. Cuando el cálculo fue inventado por Newton y Leibniz, se utiliza un "número" $\infty$ en sus derivaciones, que casualmente suelen dar las respuestas correctas, pero hay casos en que ello resulta en paradojas. Por lo tanto, una gran cantidad de esfuerzo se hizo para reformular el cálculo sin utilizar infinitos, utilizando, por ejemplo el límite de la definición anterior. (Para más sobre esto, puedes leer la Wikipedia sección sobre las bases de cálculo.)

Por esta razón, yo diría que $\infty$ no se "usa" o "necesaria" en la mayoría de las matemáticas, porque es sólo una notación, y no un objeto por sí mismo.

Sin embargo, se pueden construir objetos para representar algún tipo de "infinito", y el uso de estas como herramientas en las matemáticas. Déjame decirte cómo hacerlo con los dos ejemplos anteriores.

1. Uno puede asignar un "número" $|S|$ cualquier $S$, llamó a un número cardinal, que representa el tamaño de ese conjunto. Para cualquier conjunto finito, esto sólo será un número entero, el número de elementos de ese conjunto. Pero los conjuntos infinitos también tendrá un tamaño, y podemos ver como estos números infinitos. En este contexto, existen muchos diferentes números infinitos, no sólo uno. Y es fascinante, uno puede demostrar que $|\mathbb Z|=|\mathbb Q|<|\mathbb R|$, es decir, el número de números enteros es el mismo que el número de los números racionales (!), pero el número de los números reales es estrictamente mayor que el número de enteros (o racionales)!

2. En el cálculo, en lugar de trabajar con el número establecido de $\mathbb R$, se puede trabajar con el extendido de reales $\bar{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}$, que consiste de todos los números reales, y dos nuevos objetos que vamos a denotar por $-\infty$ y $+\infty$. Estos dos nuevos objetos son formalmente sólo símbolos, y hasta el momento no tienen ningún significado. Podemos entonces introducir la noción de "barrios" de los números. Un barrio de un número real es algo de lo que contiene un conjunto abierto alrededor de ese número real. Un barrio de $+\infty$ es un conjunto que contiene un intervalo de $\{x:x>a\}\cup\{+\infty\}$ para algún número real $$. Ahora podemos definir el límite de $\lim_{x\a}f(x)=b$ de la siguiente manera: para cualquier vecindad de $N$ de $b$, existe un entorno $M$ (dependiendo de $N$ de $un$ que si $x\in M$, entonces $x\in$ N. Esta definición también funciona para $a=+\infty$ y $b=+\infty$! Por tanto, hemos logrado definir el límite de $\lim_{x\+\infty}f(x)=+\infty$, en realidad, en términos de un objeto $+\infty$.

Para finalizar mi comentario, hay ciertas áreas de matemáticas, donde algunos de los conceptos son la mayoría que se expresa naturalmente en términos de infinitos, y algunas personas de forma explícita estudio infinitos sólo porque sean de su interés.