Datos curiosos sobre los números ordinales

Question

Tengo algunas notas sobre hechos curiosos sobre los números ordinales por ejemplo, que su suma no es conmutativa, que la multiplicación no es distributiva desde la derecha y que la regla del exponente no siempre se sostiene. También que algunas cosas que no están definidas en el análisis como $0^0, \infty ^0, 1^ \infty $ se definen en realidad para los números ordinales. Sé que ha habido algunas investigaciones dedicadas a la aritmética ordinal en la línea de los resultados clásicos en la teoría de los números, por ejemplo.

¿Conoce por casualidad otros hechos curiosos sobre los números ordinales (comparados con los hechos en el análisis u otros)?

Answer 1

1) Todo ordinal contable puede escribirse de una forma única y canónica, llamada Forma normal de Cantor . Es básicamente como escribir el ordinal "en base omega".

2) Hay un hecho en la teoría de los números que tiene una demostración natural utilizando ordinales (necesariamente) infinitos. La cuestión es si toda "secuencia de Goldstein" converge finalmente a 0. Una secuencia de Goldstein es, básicamente, un proceso en el que se toma un número, se escribe en base 2, se sustituyen todos los 2 por 3 y se resta 1. Luego hacer esto para la base 3 en 4, etc. La respuesta es que sí, todos convergen, como puede ver aquí y la prueba es bastante impactante para un teórico de los números.

Answer 2

Dado cualquier mapeo $f : \mathbf{Ord} \to \mathbf{Ord}$ que es estrictamente creciente y continua en los ordinales del límite (un mapeo así se llama mapeo normal ), hay ordinales arbitrariamente grandes $\alpha$ tal que $f ( \alpha ) = \alpha$ .

• Por ejemplo, la asignación $\alpha \mapsto \omega^\alpha$ es normal. El punto fijo mínimo de esta función se denota comúnmente $\epsilon_0$ y tiene gran importancia para la teoría de la prueba de la aritmética de Peano .

  (Por supuesto, como $\alpha \mapsto \omega^\alpha$ tiene puntos fijos arbitrariamente grandes, podemos definir un nuevo mapeo $$\alpha \mapsto \epsilon_\alpha = \text{the } \alpha^{\text{th}} \text{ fixed point of the above mapping}.$$ Este nuevo mapeo también es normal, y por lo tanto tiene puntos fijos arbitrariamente grandes. Y mediante un proceso de diagonalización en los ordinales límite podemos continuar esto indefinidamente).

• La cartografía $\alpha \mapsto \aleph_\alpha$ también es normal, y por tanto tiene puntos fijos arbitrariamente grandes. Es decir, hay infinitos cardinales $\kappa$ que tienen $\kappa$ -muchos (infinitos) cardenales por debajo de ellos. Más aún, es consistente con ZFC que $2^{\aleph_0} = | \mathbb{R} |$ es un cardenal.

Answer 3

Todo ordinal contable es de orden isomorfo a algún subconjunto cerrado de (los racionales en) el intervalo unitario cerrado.

No está realmente relacionado con los ordinales, pero puede ser interesante: $\mathbb Q$ es universal para todos los tipos de orden contables, es decir, cualquier conjunto contable totalmente ordenado se integra en $(\mathbb Q,\leq)$ .