Demostrar que $|f|\leq 1$ siempre $|x|\leq 1$.

Question

Deje $f :\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ estar en todas partes diferenciable tal que el Jacobiano es no singular en cualquier punto en $\mathbb{R}^2$. Suponga $|f|\leq 1$ siempre $|x|=1$. Demostrar que $|f|\leq 1$ siempre $|x|\leq 1$.

Creo que esto es sencillo si aplicamos la máxima módulo principio. Pero, ¿cómo puedo demostrar sin usar? He intentado utilizar el teorema de la función Implícita mediante la definición de $g:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$$g(x)=|f(x)|^2$, pero sin éxito.

Al menos una sugerencia se agradece.

Answer 1

Considere la posibilidad de $g(x) = |f(x)|^2$. Se nota por la regla de la cadena que $$Dg(x) = 2[f(x)]^T Df(x)$$ En orden para$g$, hasta alcanzar un máximo en $x$ en el interior de la unidad de la bola, debe tener un punto crítico en ese mismo $x$, es decir, a un punto tal que $Dg(x) = 0$. Debido a que el Jacobiano $Df$ es no-singular en todos los puntos, esto implicaría que $f(x) = 0$.

Por eso, $g(x) = 0$ a cualquier potencial máximo en el interior. Por eso, $g$ no tiene máximo local en el interior de la unidad de la bola. La conclusión de la siguiente manera.

Answer 2

Deje $x_0$ ser un punto en el disco $D=\{|x|\le 1\}$ donde $|f|$ tiene un máximo absoluto. Supongamos por contradicción que $|f(x_0)|>1$. A continuación, $x_0$ es un punto interno de $D$ (debido a que en el límite $|f|=1$. Por lo tanto, por supuesto, $Df_{x_0}$ es invertible, y por el local invertibility Teorema de la función $f$ es invertible en un barrio de $U$ $x_0$ todos los contenidos en $D$. Por lo tanto $f(D) \supset f(U) \supset V$ donde $V$ es un barrio de $f(x_0)$. Pero esto es una contradicción, porque en $V$ hay puntos de $y$ $|y|$ mayor que $|f(x_0)|$.

Answer 3

El conjunto $C=\{x | \|x\| \le 1 \}$ es compacto, por lo tanto, no es un maximizador de $x_0 \in C$ de de $|f|$.

Si $|f(x_0)| \le 1$, entonces no hay nada para mostrar, así que supongo $|f(x_0)| >1$, en cuyo caso debemos tener $x_0 \in \{x | \|x\| < 1 \}$ y, por tanto, $\phi(x)=|f(x)|$ tiene un local maximizador de a $x_0$. Desde $\phi$ es diferenciable en a $x_0$, tenemos $D \phi(x_0) = {f(x_0) \over |f(x_0)| } D f(x_0) = 0$ vemos que $Df(x_0) = 0$ lo cual es una contradicción.