He hecho un intento de demostrar que un número finito de abelian grupo de orden $n$ tiene un subgrupo de orden $m$ para cada divisor $m$$n$. Específicamente, me pide que use un cociente grupo de inducción de argumento para demostrar esto. Agradecería comentarios sobre la validez o falta de ella de mi intento de prueba a continuación.
Deje $G$ ser un número finito de abelian grupo de orden $n$ y deje $m$ ser un divisor de a $n$. La proposición es verdadera para $n=1$, por lo que procederemos por inducción y asumen $n \ge 2$. Deje $p$ ser un primer dividiendo $m$ y deje $x$ ser un elemento de orden $p$ $G$ (que existe por parte del Teorema de Cauchy para Abelian Grupos). Por la hipótesis de inducción, $G/\langle x \rangle$ tiene un subgrupo de orden $\dfrac{m}{p}$. Este subgrupo es de la forma $H/\langle x \rangle$ algunos $H \le G$. Desde $|H/\langle x \rangle| = \dfrac{m}{p}$, se deduce que el $H \le G$ orden $m$.
Decidí usar un divisor primo de m, pero no veo por qué no utilizar ningún divisor de $m$. Estoy en lo cierto en este punto?
Gracias, agradezco la ayuda.
