¿Cómo construir una cuasi-categoría a partir de una categoría con equivalencias débiles?

Question

Deje que $( \mathcal {C},W)$ ser un par con $ \mathcal {C}$ una categoría y $W$ una subcategoría amplia (que contiene todos los objetos). Tal par representa una $( \infty ,1)$ -categoría. Un modelo para tales aparatos es una cuasi categoría (un conjunto simple que satisface la débil condición de extensión Kan). ¿Cuál es el procedimiento directo que construye tal cuasi categoría a partir de $( \mathcal {C},W)$ ? (No me importa asumir que $( \mathcal {C},W)$ es parte de una estructura modelo si simplifica las cosas).

I puede lo hacen de forma indirecta. Por ejemplo, dada una categoría modelo, se puede utilizar la tecnología Dwyer-Kan para construir una categoría simplificada (mediante localización simple, localización en hamaca o lo que sea), aplicar el reemplazo fibrante en la estructura modelo de bergenr para las categorías simplificadas (es decir, hacer los complejos cartográficos Kan) y luego tomar el nervio simplificado (Lurie, HTT 1.1.5). Otra forma es construir un espacio Segal completo mediante la construcción del nervio de Rezk y luego tomar la fila cero (nótese que esto implica un reemplazo fibrante en la estructura modelo de Reedy). Ambos métodos son bastante complicados y me gustaría saber una construcción más explícita. En particular, me gustaría entender lo que son, digamos, los 0-, 1- y 2-simples de la cuasi-categoría resultante.

Answer 1

Cada paso del siguiente procedimiento es explícito, aunque algo complicado:

1. Construir la localización de la hamaca $L^H ( \mathcal {C}, \mathcal {W})$ . (Ver [Dwyer y Kan, Cálculo de localizaciones simples para los detalles.)
2. Aplique $ \mathrm {Ex}^ \infty $ a cada espacio doméstico de $L^H ( \mathcal {C}, \mathcal {W})$ Esto da como resultado una categoría fibrante, enriquecida de manera simple. $ \widehat {L^H} ( \mathcal {C}, \mathcal {W})$ porque $ \mathrm {Ex}^ \infty $ preserva los productos finitos, y la equivalencia de homotopía débil natural $ \mathrm {id} \Rightarrow \mathrm {Ex}^ \infty $ produce una equivalencia Dwyer-Kan $L^H ( \mathcal {C}, \mathcal {W}) \to \widehat {L^H} ( \mathcal {C}, \mathcal {W})$ . (Véase [Kan, En los complejos de C.S.S. para los detalles.)
3. Toma el nervio homotópico-coherente de $ \widehat {L^H} ( \mathcal {C}, \mathcal {W})$ para obtener una cuasi-categoría $ \hat {N} ( \mathcal {C}, \mathcal {W})$ . (Ver [Cordier y Porter, El teorema de Vogt sobre las categorías de diagramas coherentes de homotropía para los detalles.)

Permítame hacer algunos comentarios para empezar.

• Los objetos en $L^H ( \mathcal {C}, \mathcal {W})$ son los mismos que los objetos en $ \mathcal {C}$ y los morfismos son zigzags "reducidos" de morfismos en $ \mathcal {C}$ .
• La equivalencia de homotopía débil natural $X \to \mathrm {Ex}^ \infty (X)$ es bijectiva en los vértices, por lo que la equivalencia Dwyer-Kan $L^H ( \mathcal {C}, \mathcal {W}) \to \widehat {L^H} ( \mathcal {C}, \mathcal {W})$ es en realidad un isomorfismo de las categorías ordinarias subyacentes.
• Los vértices (o bordes) de $ \hat {N} ( \mathcal {C}, \mathcal {W})$ son los objetos (o morfismos) en $ \widehat {L^H} ( \mathcal {C}, \mathcal {W})$ que son los mismos que los objetos (o morfismos) en $L^H ( \mathcal {C}, \mathcal {W})$ .

Los 2-simples de $ \hat {N} ( \mathcal {C}, \mathcal {W})$ son más difíciles de describir. Conceptualmente, son triángulos conmutativos homotopía-coherentes en $ \widehat {L^H} ( \mathcal {C}, \mathcal {W})$ por lo que implican una simple homotropía en $ \widehat {L^H} ( \mathcal {C}, \mathcal {W})$ y pensando en la descripción explícita de $ \mathrm {Ex}^ \infty $ las homotopias simples en $ \widehat {L^H} ( \mathcal {C}, \mathcal {W})$ son esencialmente zigzags de homotopias simples en $L^H ( \mathcal {C}, \mathcal {W})$ es decir, zigzags de "hamacas reducidas de ancho 1".