¿Es necesario identificar los espacios duales en las EDP?

Question

En las EDP a menudo utilizamos el hecho de que podemos identificar los espacios duales, por ejemplo. $L^2(0,T;V)^* = L^2(0,T;V^*)$ en el sentido de que $$u_t + Au = f$$ donde $u_t$ , $f \in L^2(0,T;V^*)$ y $A:L^2(0,T;V) \to [L^2(0,T;V)]^*$ (Ej. $A=\Delta$ ). Porque identificamos los espacios duales, $Au$ y $f$ ambos se encuentran en el mismo espacio, por lo que la igualdad tiene sentido.

Hay ejemplos más complicados con $L^p(0,T;V)^*$ y $L^q(0,T;V^*)$ donde $p$ y $q$ son conjugados.

Mi pregunta es, ¿es siempre necesaria esta identificación cuando se trata de problemas de EDP? Todos los artículos que leo parecen utilizar esta identificación. Supongamos que tengo un espacio muy raro y no puedo demostrar que puedo identificar los espacios duales (por ejemplo, si $V$ no es Banach/reflexivo). ¿Se puede plantear el problema de otra manera?

Answer 1

Me gustaría dar una opinión. En primer lugar creo que la necesidad de tales propiedades, por ejemplo, la de que un espacio sea de Hilbert, o la de que un espacio sea reflexivo, motivó el descubrimiento de tales espacios. A la hora de resolver, por ejemplo, una ecuación como la que has propuesto, si se puede identificar dicho espacio, entonces podemos resolverla con cierta facilidad, sin embargo este no es el único método para resolver dicha ecuación.

Podemos fijarnos, por ejemplo, en el Perron (página 51). La técnica es diferente (nótese que aquí los espacios no son reflexivos) y no es necesario identificar los espacios duales.

Otro ejemplo es la proposición 4.2.1 de Pucci-Serrin libro. Trabajan en un espacio no reflexivo, sin embargo no utilizan un método variacional, sólo utilizan un método topológico, de hecho demuestran que encontrar una solución al problema propuesto, es equivalente a encontrar un punto fijo para alguna función.

Mi conclusión es: la identificación no es necesaria. Algunos problemas pueden resolverse de diferentes maneras y la elección de dicha manera depende de quién vaya a resolver el problema.

Answer 2

Me gustaría añadir que el enfoque que utiliza pares de espacios duales es más útil para las clases de problemas parabólicos y elípticos que tienen versiones lineales como casos especiales (por lo que esto incluye los problemas elípticos cuasilineales en forma de divergencia). La razón es que tales problemas pueden pensarse a veces como "estudiar un mapa $\Phi : V \to V^\ast$ " donde $\Phi = F^\ast \circ \phi \circ F$ y $F: V \to W$ es lineal (un operador de diferenciación), $\phi: W \to W^\ast$ es no lineal (por ejemplo, un operador de sustitución), y $F^\ast$ es algo así como un adjunto de $F$ .

Para los problemas elípticos completamente no lineales, así como para los hiperbólicos genuinamente no lineales, se sabe que esto no funciona. Los ejemplos dados por @Tomas lo muestran muy claramente.

No se trata sólo de un "argumento desde la ignorancia". Por ejemplo, se sabe que los problemas hiperbólicos bien planteados en espacios relacionados con $L^2$ deben ser esencialmente problemas lineales (o perturbaciones de dichos problemas).