¿Es cierto que para cualquier número par $2k$ existen primos $p, q$ tal que $p-q = 2k$ ?
Conjetura de Polignac habla de tener infinitos primos consecutivos cuya diferencia es $2k$ . Esto no se ha demostrado ni refutado.
Esta es una versión más general de mi pregunta sobre el posible valor de los huecos primos .
Por supuesto, el caso impar es fácil de hacer.
En resumen, se trata de un problema abierto (lo que hace que Polignac parezca realmente difícil, ¿no?).
La secuencia A02483 de la OEIS sigue esta pista en términos de $a(n) =$ menos $p$ tal que $p + 2n = q$ . En la página se menciona que se trata de una mera conjetura.
En cuanto a un resultado positivo, estoy casi seguro de que Teorema de Chen que afirma que todo número par puede escribirse como $p + q$ o $p + q_1q_2$ se consigue por métodos de cribado lo suficientemente potentes y lo suficientemente laxos como para dar también que todo número par puede escribirse como diferencia de dos primos o como diferencia de un primo y un casi-primo (o de un casi-primo y un primo). Creo que incluso he visto esto derivado antes.
Esto vendría como corolario de la conjetura de Polignac o de la mucho más fuerte Hipótesis de Schinzel H que es una de esas conjeturas que se me antojan realmente inalcanzables. Supongo que se ha demostrado en promedio sobre campos de funciones (creo), así que tal vez eso es esperanzador. Por otro lado, también lo ha hecho la Hipótesis de Riemann.
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