Sé que si un grupo de $G$ tiene un número finito de subgrupos, a continuación, el grupo $G$ es finito.
Pero si un grupo de $G$ ha contables número de subgrupos, a continuación, es el grupo contable?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
lhf
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Deje $S$ ser el conjunto de todos los subgrupos de $G$.
Considerar el mapa de $\phi: G \to S$$\phi(g) = \langle g \rangle$.
Si $\phi$ fueron inyectiva, entonces nos gustaría hacer.
Por desgracia, $\phi$ no es inyectiva, pero afortunadamente podemos controlar cómo no inyectiva es.
De hecho, todos los $H \in S$ tiene un finito número de pre-imágenes, ya que cada grupo cíclico tiene número finito de generadores (incluyendo infinito cíclica de los grupos). Por lo tanto $$ G = \bigcup_{H \S} \phi^{-1}(H) $$ es una contables de la unión finita de conjuntos y así es contable.
