La propiedad entre totalmente desconectado y cero dimensional

Question

Asumir todos los espacios Hausdorff.

Definiciones:

$X$ está totalmente desconectado si el único vacío conectado subconjuntos de a $X$ son los únicos.

$X$ es cero dimensional si tiene una base de clopen conjuntos.

Ahora considere la siguiente:

A) $X$ es cero dimensional,

B) por $p\neq q\in X$ existe un clopen conjunto que contiene a $p$ faltan $q$ (el quasicomponents de $X$ son singletons),

C) $X$ está totalmente desconectado (los componentes de $X$ son singletons)

Es claro para mí que $A\Rightarrow B\Rightarrow C$, y sé que $A$ $C$ no son equivalentes.

Pregunta: Es $B$ equivalente a $A$ o $C$ ? Creo que el $B\Leftrightarrow C$ si $X$ es compacto, ya que en este caso quasicomponents están conectados, pero no estoy seguro en general.

Edit: estoy muy interesado en saber si $B$ es estrictamente más débil de lo $A$, incluso para el normal espacios.

Answer 1

No hay dos de las tres propiedades son equivalentes para los espacios de Hausdorff en general. En esta respuesta de Martin Sleziak da una prueba de que el Erdős espacio de $\ell^2\cap\Bbb Q^\omega$, el espacio de la plaza-summable secuencia de los números racionales, (B), pero no (Una). El espacio obtenido por la eliminación de la dispersión punto de $p=\left\langle\frac12,\frac12\right\rangle$ desde el Knaster-Kuratowski fan de ha (C), pero no (B): su quasicomponents son los segmentos de $L_c\setminus\{p\}$$c\in C$, el medio tercios conjunto de Cantor.