Para que pares de líneas $L_1$, $L_2$ ¿existen funciones reales, armónico en todo el avión, que se $0$ en todos los puntos de $L_1 \cup L_2$ sin fuga de forma idéntica?
Nota: Este es el auto-estudio -- no a la tarea.
Mis pensamientos:
Traté de aprovechar ciertas configuraciones de $L_1$ $L_2$ y aplicar el principio de reflejo para mostrar que la función se desvanece en una curva cerrada y, por tanto, en todas partes, pero yo no era un éxito.
OK, creo que tengo un trabajo de argumento. Deje $u$ ser un verdadero armónico de la función que se desvanece en dos líneas de $L_1$$L_2$. Aplicar la traducción y/o rotación para hacer $L_1$ $y = 0$ y el punto de intersección (si cualquier) coincide con (0, 0). Esto se traducirá/rotar el conjunto de ceros de $u$, pero no quitar o introducir nuevos ceros. El resultado de la función seguirá siendo real y armónico.
Si $L_1$ $L_2$ son paralelas, entonces $L_2$ es de la forma $y = a$ y, por un cálculo directo de la Laplaciano, la siguiente función se cumple con los requisitos:
$$u(x, y) = e^x \sin\left(\frac{2\pi y}{a}\right)$$
Si $L_1$ $L_2$ se intersecan en un ángulo de $\theta = 2\pi\frac{p}{q}$ donde $p, q \in \Bbb N, q \ne 0$, la siguiente función se cumple con los requisitos:
$$u(x, y) = \prod_{k=0}^{q-1}\left(y-x \tan\left(2\pi k \frac{p}{q}\right)\right)$$
De lo contrario, $L_1$ $L_2$ se intersecan en un ángulo de $\theta = 2 \pi s$ donde $s \not \in \Bbb Q$. Por el Schwarz reflexión principio, la función también se desvanece en $\overline L_2$. Con la repetición de las rotaciones y aplicaciones de la reflexión principio, nos encontramos con que una rotación de la función tiene ceros en el siguiente conjunto:
$$y = x \tan(2 \pi s n), \ n \in \Bbb N$$
Pero el conjunto es denso debido a $s \not \in \Bbb Q$. Por lo tanto la función es idéntica a cero.
Mi pregunta: Cualquier error en mi razonamiento? Hay una manera más fácil?
