La construcción de la localización de una categoría

Question

Estaba leyendo la construcción de la localización de una categoría en el libro "Métodos de álgebra homológica" de Manin y Gelfand.

Permítanme que les recuerde la definición de la localización de una categoría: Deje $B$ ser una categoría arbitraria y $S$ un conjunto de morfismos en $B$, la localización es una categoría $B[S^{-1}]$ con un functor $Q:B\rightarrow B[S^{-1}]$ tal que $Q(s)$ es un isomorfismo para cada $s\in S$, y si otro functor $F:B\rightarrow D$ tiene esta propiedad, entonces existe un functor $G:B[S^{-1}]\rightarrow D$ tal que $F=G\circ Q$.

Antes de formular mi pregunta, permítanme recordarles que la construcción de la localización:

Deje $B$ ser una categoría arbitraria y "S" de un conjunto arbitrario de los morfismos en $B$, queremos construir $B[S^{-1}]$. Set $\mathrm{Ob}\;B[S^{-1}]=\mathrm{Ob}\;B$, y definir $Q$ a ser la identidad de los objetos. Quiero construir los morfismos de $B[S^{-1}]$, para hacer que se proceda en varios pasos:

a) introducir las variables de $x_s$, uno para cada morfismos $s\in S$.

b) Ahora, la construcción de una orientada a la gráfica de $\Gamma$ como sigue:

vert $\Gamma$=Ob $B$

Los bordes de $\Gamma$=$\{$morfismos en $B\}\cup\{x_s:s\in S\}$

si $f$ es una de morfismos $X\rightarrow Y$ correspondes a un borde de la $X\rightarrow Y$

si $s\in S$ $x_s$ es una ventaja $Y\rightarrow X$.

Un camino en este gráfico es lo que usted espera que sea.

Ahora vamos a definir una relación de equivalencia entre las rutas de acceso con el mismo principio y el mismo fin. Decimos que dos caminos son equivalentes si pueden ser unidos por una cadena de estos dos tipos de operaciones:

1) dos días consecutivos de flechas puede ser reemplazado con su composición

2) el camino de $sx_s$ es equivalente a $id$ e la misma para $x_ss$.

Así que una de morfismos es una clase de equivalencia de rutas con el común de comienzo y fin común.

Ahora, si usted está interesado usted puede fácilmente continuar con la definición de $Q$ y demostrando que esta categoría tiene la propiedad que queremos.

Mi pregunta es: ¿estamos seguros de que esta es una categoría? Porque la clase de morfismos puede ser una clase adecuada, no es obvio para mí que es un conjunto. Me dijeron que hay una forma de arreglar esto (o al menos para evitar el problema); ¿sabes una manera de arreglar este problema?

(Yo sé que, por ejemplo, si el conjunto de $S$ tiene buenas propiedades, es decir, es un sistema de localización de morfismos, entonces hay una mejor construcción, pero me gustaría saber una construcción en general que funciona incluso si $S$ no es la localización).

Answer 1

Después de algunas consideraciones, a mí me parece que la inversión de un pequeño conjunto $\mathcal{M}$ de los morfismos en un local pequeño de la categoría $\mathcal{C}$ siempre da otra localmente pequeña categoría $\mathcal{D}$. Suponga $\mathcal{M}$ es cerrado bajo la composición – esto se puede hacer por inducción y aún así obtener un conjunto pequeño.

En primer lugar, observe que cualquier morfismos $X \to Y$ $\mathcal{D}$ puede ser expresado como un finitozig-zag $$X \rightarrow X_1 \leftarrow X_2 \rightarrow X_3 \leftarrow \cdots \rightarrow Y$$ de morfismos en $\mathcal{C}$, donde la izquierda con las flechas son tomadas desde el set $\mathcal{M}$. En particular, los objetos intermedios $X_1, X_2, X_3, \ldots$ debe ser elaborado a partir de un pequeño conjunto, es decir,$\{ \operatorname{dom} f : f \in \mathcal{M} \} \cup \{ \operatorname{codom} f : f \in \mathcal{M} \}$. (Usar el axioma de reemplazo!) Por lo tanto, podemos construir un surjection a partir de un pequeño conjunto de a $\mathcal{D}(X, Y)$, y de ello se sigue que $\mathcal{D}(X, Y)$ es un pequeño conjunto. Sin embargo, en la práctica no es tan fácil de describir exactamente lo que zigzaguea identifica...

En las aplicaciones de $\mathcal{M}$ no suele ser un conjunto pequeño, así que estamos de nuevo al cuadrado uno. No me queda claro si hay un ejemplo claro de un local pequeño categoría cuya localización no es localmente pequeño – tal vez esto es que vale la pena hacer como una cuestión separada.