¿Por qué es el último dígito de $n^5$ igual al último dígito de $n$?

Question

Me preguntaba por qué el último dígito de $n^5$ es de $n$? ¿Cuál es la prueba y la lógica detrás de la declaración? No tengo idea de por donde empezar. Por favor alguien puede proporcionar una prueba simple o algunas ideas generales acerca de cómo puedo averiguar la prueba a mí mismo? Gracias.

Answer 1

Alternativamente, usted puede probar que $n^5-n$ es divisible por $10$ por inducción. Si $n=0$, es obviamente cierto.

Asumir cierto para $n$, tenemos que mostrar que:

$$(n+1)^5-(n+1) = n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1 - (n+1) \\=n^5 - n + 10(n^3+n^2) +5n(n^3+1)$$

es divisible por 10.

Pero $n^5-n$ es divisibly por $10$ por inducción, y $10(n^3+n^2)$ es, obviamente, divisible por $10$, así que todo lo que usted necesita para mostrar es que $5n(n^3+1)$ es divisible por $10$, que es lo mismo que probar que $n(n^3+1)$ es divisible por $2$.

La razón fundamental para esto, como todo el mundo ha notado, es debido a las reglas de la aritmética modular.

Answer 2

Nota, el último dígito de $n^5$ sólo pueden verse afectados por el último dígito de $n$. Es decir, el 1s dígitos de cualquier poder de la $n$ sólo se verá afectada por el dígito de las unidades es de $n$, y no el 10, 100, o cualquier otro dígito. Así, usted sólo tiene 10 casos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Todo lo que tienes que hacer es tratar por separado. $0^5 = 0$, $1^5 = 1$, $2^5 = 32$, $3^5 = 243$, ..., $9^5 = 59049$.

Si usted ha oído hablar de la aritmética modular, todos los números mod 10 va a estar en el set $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Y, es por eso que sólo necesita considerar estos 10 casos.

Answer 3

$$n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n^2-1)(n^2-4+5)$$ $$=n(n^2-1)(n^2-4)+5n(n^2-1)$$ $$=\underbrace{(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}_{\text{ producto }5\text{ números enteros consecutivos }}+5\cdot \underbrace{(n-1)n(n+1)}_{\text{ producto }3\text{ números enteros consecutivos }}$$

Ahora, sabemos que el producto de $r$ enteros consecutivos es divisible por $r!$ donde $r$ es un número entero positivo

Así, $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ es divisible por $5!=120$ y $(n-1)n(n+1)$ es divisible por $3!=6$

$$\implica n^5-n\equiv0\pmod{30}\equiv0\pmod{10}$$

Answer 4

No voy a explicar que es verdad porque descubrió que era cierto !

Fermat poco teorema nos dice que : $$k^5\equiv k\pmod{5}$$ Más de $k^5$ es par o impar cuando $k$ es par o impar.
Usted puede utilizar el teorema del resto chino a la conclusión de que, efectivamente,: $$k^5\equiv k\pmod{10}$$ (esto funciona debido a la factorización de $10=2\cdot 5$ y es por eso que otros pequeños primos no comparte esta propiedad...)

Podemos producir esta tabla de potencias con la propiedad : $$1, 5, 9, 13, 17, 21\cdots$$ El patrón es claro : obtendrás el mismo resultado para $p=4n+1$ con $n\in \mathbb{N}$.
Esto es natural ya que mulplying cada dígito $k$ por $k^4$ dar $k$ de nuevo.

Answer 5

Números cuyos últimos dígitos de poderes ocurren en ciclos de 4:
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
2⁴ = 6
2⁵ = 2

3¹ = 3
3² = 9
3³ = 7
3⁴ = 1
3⁵ = 3

7¹ = 7
7² = 9
7³ = 3
7⁴ = 1
7⁵ = 7

8¹ = 8
8² = 4
8³ = 2
8⁴ = 6
8⁵ = 8

La alternancia de los últimos dígitos
4¹ = 4
4² = 6
4³ = 4

9¹ = 9
9² = 1
9³ = 9

Potencias de números que terminan en 1,5,6 terminan siempre en 1,5,6. Por lo tanto podemos observar en los casos anteriores que,
n^5 y n siempre tendrá la misma último dígito.