Demostrar $\lim_{x \to 13} \sqrt{x-4} = 3$.
Tenemos que mostrar para todos los $E> 0$ existe $D > 0$ tal que
si $0 < |x - 13| < D$,$|\sqrt{x-4} - 3| < E$. Permítanme escribir D para delta y E para epsilon por favor.Los arañazos-trabajar aquí: $\color{darkred}{\text{ I understand the formal proof. Ergo just asking about this. } }$
Tenga en cuenta que $|\sqrt{x-4} - 3| = |\sqrt{x-4} - 3|\dfrac{|\sqrt{x-4} + 3|}{|\sqrt{x-4} + 3|} = \dfrac{|x - 13|}{|\sqrt{x-4} + 3|}$.
Podemos enlazado $|x - 13|$ para cualquier elección de D, pero necesitamos un cierto D a también vinculada $|\sqrt{x-4} + 3|$.1. Ishfaaq la respuesta dice que " el denominador definitivamente va a causar problemas.' Cómo?
¿Por qué no delimitador $|x - a|, |x - 13|$ unido el conjunto de declaraciones?
Debajo pp 83 de Spivak afirma que esta también. ¿Cómo '$|x + a|$ causar problemas'?Suponga que $D < 1.$
2. Lo sancionado asumiendo $D < 1$? Cómo saber si $1$ es demasiado pequeño, demasiado grande? $\\$ En pp 83 de Spivak debajo, $D$ looks elegidos al azar?
4. Ishfaaq del último párrafo. $\color{darkred}{\left|{x^2 - a^2}\right| \lt \delta^2 + \left|{}2a\right|\delta. \text{ But we can hardly equate this to ϵ... }}$
¿Por qué no? $d^2 + \left|{}2a\right|d = e \iff d(d + |2a|) = e$?Ishfaaq dice $a = 1/2, e = d/2$ es un contraejemplo. Pero, a continuación, $d^2 + 2|a|d < e \iff d^2 + d < d/2 \iff d(d - \frac{1}{2}) < 0 \iff 0 < d < 1/2.$ Lo que los fundadores?
Si esto funciona, entonces cualquier menor D, también trabajo. A continuación, $|x - 13| < 1 \iff -1 < x - 13 < 1 \iff 12 < x < 14 \iff 8 < x - 4 < 10$
$\implies \sqrt(8) < \sqrt{x - 4} < \sqrt(10) \iff \color{blue}{\sqrt(8) + 3 < \sqrt{x - 4} + 3 < \sqrt(10) + 3} \\ \iff 0 < \color{blue}{\dfrac{1}{\sqrt(10) + 3} < \dfrac{1}{\sqrt{x - 4} + 3} < \dfrac{1}{\sqrt(8) + 3}} $ $\implies \color{green}{\frac{1}{|\sqrt{x - 4} + 3|} < \frac{1}{\sqrt(8) + 3}} $Así que, a continuación, $|x - 13|\color{green}{\dfrac{1}{|\sqrt{x - 4} + 3} < \dfrac{1}{\sqrt(8) + 3}}|x - 13|$ y la necesidad de esta $ < E.$
Por lo tanto, necesitamos $|x - 13| < E * \color{green}{(\sqrt{8} + 3)}$. Así que esta es nuestra elección de D. Pero tenga en cuenta que esto sólo funciona al $D < 1$. Por lo tanto, podemos tomar el cuidado de las condiciones de ambos por la elección de $D = \min\{1, E(\sqrt{8}+3)\}.$ █$\color{darkred}{ \text{ 3. All this algebra fazed me. How to graph this to view all this algebra and $D$? Thanks. } }$
También trató de http://www.ocf.berkeley.edu/~yosenl/matemáticas/épsilon-delta.pdf.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Tenga en cuenta que $\sqrt{x-4}+3\geqslant3$ por lo tanto $|\sqrt{x-4}-3|\leqslant\frac13|x-13|$. Por lo tanto, si $|x-13|\leqslant3\varepsilon$$|\sqrt{x-4}-3|\leqslant\varepsilon$.
Tenga en cuenta que la función de $x\mapsto\sqrt{x-4}$ sólo está definida en $x\geqslant4$ por lo tanto la condición de $|x-13|\leqslant3\varepsilon$ garantiza que $\sqrt{x-4}$ existe, siempre $\varepsilon\leqslant3$ (lo cual es más que suficiente para concluir). Una fórmula válida para todos los $\varepsilon$$\delta=\min\{9,3\varepsilon\}$.
Así, el objetivo es llegar con un $\delta \ $ cualquier $\epsilon$, sin embargo los pequeños. Dado un $\epsilon$ - en absoluto - se debe proporcionar un positivo correspondiente cantidad $\delta$ tal que $\left| \sqrt{x - 4} - 3 \right| \lt \epsilon $ siempre $\left| x - 13 \right| \lt \delta. $
Ahora, casi siempre esta tarea es superar demostrando que hay un $\delta$ de la forma $a \cdot \epsilon$. Así que, independientemente de lo que nos han dado para $\epsilon$, el valor correspondiente para $\delta$ va a existir, ya que es sólo el múltiplo de la $\epsilon$ veces otro valor positivo $a$.
Ahora, nuestro objetivo es obligado a $\left| x - 13 \right|$ y por lo tanto llegar a una implicación en $\left| \sqrt{x - 4} - 3 \right| $. Y se puede ver que el denominador definitivamente va a causar problemas? Si no lo hacemos estado con la evidencia de que $1 /\left| \sqrt{x - 4} + 3 \right|$ no se portan mal - que afectan negativamente a nuestra desigualdad, estamos proporcionando una insuficiente respuesta.
La elección de $1$ es hacer las cosas fáciles. Como en llegar a un múltiplo de $\epsilon$ nuestro $\delta$. Trate de encontrar un enlace para $1 /\left| \sqrt{x - 4} + 3 \right|$ a partir de $\left| x - 13 \right| \lt \delta$ en una manera general. Usted obtendrá un salto. Pero usted se quedará con términos como"$\delta ^2$$\sqrt\delta$. Esto es lo que pretendemos evitar. Y si has hecho lo que me dijo usted notará que en este caso no vamos a llegar a ninguna parte. No siempre tiene que ser $1$. Podría ser $3$, al igual que lo Hizo ha sugerido anteriormente. Puede parecer un poco del cielo, pero es un truco aprenderás de contestar muchas preguntas.
El ejemplo de Spivak podría ser más esclarecedor. Estoy asumiendo que usted ha aprendido de su triángulo de las desigualdades de las páginas anteriores.
$\begin{align} \left|{x^2 - a^2}\right| = \left|{x - a}\right|\left|{x + a}\right| & = \left|{x - a}\right|\left|{(x - a) + 2a}\right| \\ & \le \left|{x - a}\right| (\left|{x - a}\right| + \left|{2a}\right|) = \left|{x - a}\right|^2 + \left|{2a}\right|\left|{x - a}\right| \end{align}$
Así que si tratamos de comenzar con la $\left|{x - a}\right| \lt \delta$ vamos a terminar con $\left|{x^2 - a^2}\right| \lt \delta^2 + \left|{}2a\right|\delta$. Pero difícilmente podemos equiparar este a $\epsilon$ que es por eso que usamos el truco de decir elija $\delta =\text{ Min} \{1 , \epsilon \}$ porque entonces podemos decir $\delta \le 1 \implies \delta^2 \le \delta \implies \delta^2 + \left|{}2a\right|\delta \le (\left|{}2a\right| + 1)\delta$ donde $(\left|{}2a\right| + 1)$ es sino una constante positiva. Así que no se corresponde con un $\delta = \dfrac {\epsilon}{(\left|{}2a\right| + 1)}$ cualquier $\epsilon \gt 0$.
ACTUALIZACIÓN: a la Derecha. Justo lo suficiente. Aquí va.
Así la simple razón por la $|x + a|$ y el denominador en su pregunta provoca problemas es porque ha $x$ en ella y, por tanto, de delimitación $|x - a|$ o $|x - 13|$ (que es lo que estamos autorizados a hacer) no consolidado la totalidad de las declaraciones, $|x^2 - a^2|$$\dfrac {|x - 13|}{|\sqrt{x - 4} + 3|}$.
La única cantidad que se nos permite obligado es la distancia entre el $x$ y y el punto en que el límite se evalúa es decir $|x - a|$$|x - 13|$. Usted necesita para ver por qué, aunque. Esto es consecuencia directa de la definición. "Para cualquier $E \gt 0$ existe $D \gt 0$ tal que $|f(x) - L| \lt E $ siempre $ |x - a| \lt D$". Nuestro trabajo es proporcionar a $D$, pero para cualquier $E$ alguna y sin embargo los pequeños. Pero desde $D$ es de los nuestros nos puede hacer tan pequeña como se desee. Esto es lo que justifica la afirmación "Supongamos $D \lt 1$". Esto no tiene que ser $1$. Usted puede comenzar con decir supongamos $D \lt \frac 1 {10^{100}}$. No importaría. Pero la elección de $D$ menor que $1$ nos permite decir que el $D^2 \lt D$ lo cual es muy útil y ahora llegamos a la tercera pregunta.
Está bien, quizá mi redacción no es lo suficientemente bueno allí. Sí, yo supongo que tiene usted razón. Usted siempre puede hacer el ser etéreo que nos suministra la $\epsilon$ a levantarse por sí mismo un $\delta$ tal que $\delta^2 + 2|a|\delta \lt \epsilon$. Pero la existencia de un valor positivo para $\delta$ no es obvio es? (- aunque ahora mismo no puedo pensar en una sólida contra-ejemplo. Este es un débil de un Decir $a = \frac 1 2$ $\epsilon = \frac {\delta}{2}$ entonces, ¿qué escogerías para$\delta$, de modo que nuestra desigualdad se satisface?).
Pero la afirmación de que la recolección de $\delta = \text{Min} \{ 1 , \epsilon \}$ es muy infalible, claro y trivialmente simple. Se ajusta a la cita de arriba cada vez. Esto demuestra que hay un $\delta$ para cualquier godforsaken $\epsilon$. Fin de la historia.
Espero que me ayudó. No sé si responde a esta larga son permitidos. Dejar un comentario si usted necesita más aclaraciones. Como he dicho aquí estos conceptos son muy importantes. Usted necesita una base sólida para el progreso.
Si has encontrado el álgebra un poco difícil de descifrar, tal vez esto ayude.
Suponga que $|x-13|<1$ sólo significa que hemos de suponer que la distancia entre el $x$ y el 13 es menor que uno. $x$ es la entrada a la función, es la distancia desde el número 13 es de menos de 1. Si desea calcular su límite, es decir, lo que sucede a$f(x)$$x\rightarrow13$, la distancia entre el $x$ y el 13 va a ser menor que 1, eventualmente, de todos modos, así que esto no es algo insensato.
$|x-13|<1\Longleftrightarrow-1<x-13<1$ Estas dos afirmaciones significan la misma cosa. Es más fácil trabajar con la ecuación a la derecha.
Usted debe tratar a los $-1<x-13<1$ como ordinaria de la ecuación excepto que en lugar de hacer lo mismo a ambos lados de la igualdad de señal que le haga lo mismo a la izquierda, en el centro y a la derecha.
$\begin{array}{ccccc} -1 & < & x-13 & < & 1\\ -1+13 & < & x-13+13 & < & 1+13\\ 12 & < & x & < & 14\\ 12-4 & < & x-4 & < & 14-4\\ 8 & < & x-4 & < & 10\\ \sqrt{8} & < & \sqrt{x-4} & < & \sqrt{10}\\ \sqrt{8}+3 & < & \sqrt{x-4}+3 & < & \sqrt{10}+3\\ & \text{flip} & & \text{flip}\\ \frac{1}{\sqrt{8}+3} & > & \frac{1}{\sqrt{x-4}+3} & > & \frac{1}{\sqrt{10}+3}\\ \end{array}$
Todos estos movimientos son legales. Lo que tenemos hasta ahora es que si la longitud entre su entrada $x$ y el 13 es menor que uno, yo.e$|x-13|<1$,$\frac{1}{|\sqrt{x-4}+3|} < \frac{1}{\sqrt{8}+3}$.
Ahora viene la epsilon-delta parte. Recuerde que el límite que desea encontrar es básicamente el mismo que preguntar "¿qué le sucede a $f(x)$ cuando mi entrada $x$ pone muy cerca de 13", así que vamos a considerar el caso en que $x$'s distancia de 13 es menor que 1 (esto tiene que suceder eventualmente).
Al $|x-13|<1$, sabemos que desde antes de que $|\sqrt{x-4}-3|=|x-13|\frac{1}{|\sqrt{x-4}+3|}$, así que ahora tenemos $|\sqrt{x-4}-3|=\text{something less than 1}\cdot\text{something less than }\frac{1}{\sqrt{8}+3}<\frac{1}{\sqrt{8}+3}$
Vamos a considerar cuando se $|x-13|<(\sqrt{8}+3)\epsilon$:
Sabemos que desde antes de que $|\sqrt{x-4}-3|=|x-13|\frac{1}{|\sqrt{x-4}+3|}$, así que ahora tenemos $|\sqrt{x-4}-3|=\text{something less than }(\sqrt{8}+3)\epsilon\cdot\text{something less than }\frac{1}{\sqrt{8}+3}<(\sqrt{8}+3)\epsilon \frac{1}{\sqrt{8}+3}=\epsilon$
Ahora elegimos $\delta=\min\{1,(\sqrt{8}+3)\epsilon\}$. Por qué? Porque hay una falla en el argumento de arriba! Lo que si $\epsilon$ es mayor que 1? Entonces no podemos decir que $\frac{1}{|\sqrt{x-4}+3|} < \frac{1}{\sqrt{8}+3}$ - pero espera! si $\epsilon$ es mayor que 1, ya tenemos un $\delta$ que va a satisfacer nuestra definición: 1.
Ejemplo:
Si $\epsilon=2.2$, se puede encontrar una $\delta$ tal que $|x-13|<\delta \Rightarrow |f(x)-3|<2.2?$ Sí, $|x-13|<1$, $|\sqrt{x-4}-3|<\frac{1}{\sqrt{8}+3}\approx 0.17$
Al $\epsilon$ es menor que 1, entonces sabemos que $\frac{1}{\sqrt{x-4}+3} < \frac{1}{\sqrt{8}+3}$ y utilizamos la $\delta$ se obtuvo utilizando el hecho de que $|x-13|<1$, es decir, $\delta=(\sqrt{8}+3)\epsilon$
Pensar después de $\epsilon=2.2$, cuando alguien intenta pasar la me $\epsilon$ como 0.001 para que $(\sqrt{8}+3)\epsilon<1$, luego de haber escogido $|x-13|<\delta=\min\{1,(\sqrt{8}+3)\epsilon\}$, puedo repetir todo mi argumento acerca de cómo al $|x-13|<1$, bla, bla, bla. I tiene una estrategia ganadora en contra de cualquier jugador que intenta romper me pasa me pequeñas o grandes epsilons.
En Spivak (suponiendo por el momento $a\neq 0$), al $x$ está cerca de a $a$ $x$ $a$ tendrá el mismo signo, de modo que |x+a| a será mayor que $a$. Así que hay una (relativamente) grandes factor que aparece en un producto que quieres hacer pequeños - sin duda, usted quiere ser capaz de elegir la $\epsilon$ mucho menor que $a$.
Así que usted tiene que encontrar alguna manera de controlar el gran factor para que no se interponga en el camino de su prueba. En Spivak del ejemplo, esto es fácil, pero en casos más complejos, puede ser la clave para una solución. Es de destacar la idea ahora, porque va a ser útil más tarde.
