Suma de los recíprocos de seno al cuadrado

Question

Me encontré con un interesante identidad al hacer la tarea de la física, que es, $$ \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{\sin^2 \dfrac{\pi n}{N} } = \frac{N^2-1}{3}. $$

Cómo es esta identidad derivada? Hay más relacionados con la identidad?

Answer 1

A partir de mi respuesta aquí: Demostrando $\frac{1}{\sin^{2}\frac{\pi}{14}} + \frac{1}{\sin^{2}\frac{3\pi}{14}} + \frac{1}{\sin^{2}\frac{5\pi}{14}} = 24$

Convertir esto en el problema de encontrar

$$\sum_{n=1}^N \frac{1}{1 - \cos \frac{2\pi n}{N}}$$

Convertir esto en el problema de obtener un polinomio de Chebyshev de que las raíces se $\cos \frac{2\pi n}{N}$ (tal vez después de usar $\cos \frac{2 \pi (N-n)}{N} = \cos \frac{2 \pi n}{N}$ y conseguir un polinomio para un subconjunto)

Y usando el hecho de que el para cualquier polinomio $P(x)$ con raíces $r_i$ tenemos que

$$ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{x - r_j} = \frac{P'(x)}{P(x)}$$

Otro (muy similar) sería empezar con

$$\frac{2}{\sin^2 x} = \frac{1}{1+\cos x} + \frac{1}{1-\cos x}$$ Nota: no he trabajado fuera de los detalles, pero estoy bastante seguro de que esto iba a funcionar.

Answer 2

Vamos a denotar $ S_N=\sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{\sin^2 \dfrac{\pi n}{N} } $

Considere la posibilidad de una igualdad:

$$\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi s)}=\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{1-x}\ln\frac{1}{x}dx;0<s<1$$

Porque de $0<\frac{n}{N}<1$, la integral de la forma se aplica. Por lo tanto:

$$S_N=\frac{1}{{\pi}^2} \int_0^{\infty}\frac{\ln\frac{1}{x}}{1-x}\sum_{n=1}^{N-1}x^{\frac{n}{N}-1}dx=$$

$$= \frac{1}{{\pi}^2} \int_0^{\infty}\frac{\ln\frac{1}{x}}{1-x}\frac{x^{\frac{1}{N}-1}-1}{1-x^{\frac{1}{N}}}dx=$$

$$=\frac{N^2}{{\pi}^2} \int_0^{\infty}\frac{\ln\frac{1}{x}}{1-x}\frac{1-x^{N-1}}{1-x^{N}}dx=$$

$$=2\frac{N^2}{{\pi}^2} \int_0^{1}\frac{\ln\frac{1}{x}}{1-x}\frac{1-x^{N-1}}{1-x^{N}}dx= \frac{N^2-1}{3} $$

porque de $$\int_0^{1}\frac{\ln\frac{1}{x}}{1-x}\frac{1-x^{N-1}}{1-x^{N}}dx= \frac{N^2-1}{N^2}\frac{{\pi}^2}{6}$$