Encontrar un par de funciones con propiedades

Question

Necesito encontrar un par de funciones $f$, $g$ tal que

1. $f$ no es diferenciable en a $x = 0$

2. $g$ no es diferenciable en a $f(0)$

3. $g \circ f$ es diferenciable en a $x = 0$

Yo he probado un montón de funciones, pero sólo parece que no puede encontrar el que trabajo. Se agradece cualquier ayuda, gracias.

Answer 1

La primera condición sugiere $f(x)=|x|$ como un ejemplo relativamente sencillo. A continuación, $g(x)=x-|x|$ tampoco es diferenciable en a $x=f(0)=0$, e $(g\circ f)(x)=|x|-|x|$ es idéntica a cero, por lo que sin duda es diferenciable en a $x=0$.

Answer 2

El endeudamiento de esta respuesta:

$$f(x)=\begin{cases} x+1 & x\in\mathbb Q\\ x& x\notin\mathbb Q\end{cases}$$

$$g(x)=\begin{cases} x-1 & x\in\mathbb Q\\ x& x\notin\mathbb Q\end{cases}$$

Estas funciones son inversos el uno del otro y nada continua, ergo diferenciable.

Su composición es la identidad que es diferenciable en todas partes.

Answer 3

$$ f(x) = g(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}, $$ si no te importa la falta de continuidad.