Qué $\operatorname{div}\left(\nabla G +xG\right)=0\Longleftrightarrow \nabla G +xG=0$?

Question

Deje $G$ ser un suave función definida en $\textbf{R}^d$. ¿Cuáles son los supuestos que debo utilizar para suponer que $$\operatorname{div}\left(\nabla G(x) +xG(x)\right)=0 \quad (\forall x\in \textbf{R}^d)$$ implica que $G$ es una Gaussiana? (Varias respuestas son posibles supongo...)

Muchas gracias !

Answer 1

Voy a utilizar un argumento a lo largo de las líneas de lo que @hOff propuesto. Además de la suavidad de $G$ voy a suponer que se descompone rápidamente en el infinito, de modo que todos de los siguientes cálculos son justificados. Por ejemplo, se podría suponer que $G$ es Schwartz clase.

Como la primera orden del negocio se expanda su ecuación como $$ \Delta G(x) + x \cdot \nabla G(x) + d G(x) =0. $$ Para atacar este problema vamos a utilizar la transformada de Fourier, la cual definimos como $$ \hat{f}(\xi) = \int_{\mathbb{R}^d} f(x) e^{-2\pi i x\cdot \xi} dx. $$

Tenemos las siguientes identidades: $$ \widehat{\Delta f}(\xi) = -4 \pi^2 |\xi|^2 \hat{f}(\xi) \\ \widehat{x \cdot \nabla f}(\xi) = -\xi \cdot \nabla \hat{f}(x) - d \hat{f}(\xi). $$ Estos dos se siga integrando por partes en la fórmula de la transformada de Fourier. Por ejemplo, $$ \widehat{x \cdot \nabla f}(\xi) = \sum_{j=1}^d \int_{\mathbb{R}^d} x_j \partial_j f(x) e^{-2\pi i x\cdot \xi} dx \\ = -\sum_{j=1}^d \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \partial_j( x_j e^{-2\pi i x\cdot \xi}) dx \\ = -\sum_{j=1}^d \int_{\mathbb{R}^d} f(x) [x_j(-2\pi i \xi_j) + 1] e^{-2\pi i x\cdot \xi} dx \\ = - d \hat{f}(\xi) - \sum_{j=1}^d \xi_j \int_{\mathbb{R}^d} f(x)(-2\pi i x_j)e^{-2\pi i x\cdot \xi} dx \\ = - d \hat{f}(\xi) - \sum_{j=1}^d \xi_j \partial_{\xi_j} \int_{\mathbb{R}^d} f(x)e^{-2\pi i x\cdot \xi} dx \\ = - d \hat{f}(\xi) - \xi \cdot \nabla \hat{f}(\xi). $$

Ahora aplicamos la transformada de Fourier de la ecuación de $G$ encontrar que $$ 0= - 4\pi^2 |\xi|^2 \hat{G}(\xi) -\xi \cdot \nabla \hat{G}(\xi) - d \hat{G}(\xi) + d \hat{G}(\xi) \\ = - 4\pi^2 |\xi|^2 \hat{G}(\xi) -\xi \cdot \nabla \hat{G}(\xi). $$

Este es un primer orden de la PDE que podemos resolver utilizando el método de las características. Supongamos por el momento que $\xi_0 \in \mathbb{R}^d$ es tal que $|\xi_0|=1$. Considere la función $g(t) = \hat{G}(e^t \xi_0)$. Calculamos $$ \frac{d}{dt} g(t) = \nabla \hat{G}. (e^t \xi_0) \cdot e^t \xi_0 = -4\pi^2 |e^t \xi_0|^2 \hat{G}. (e^t \xi_0) = -4\pi^2 e^{2} g(t), $$ lo que implica que (utilizando el estándar de la educación a distancia teoría) $$ g(t) = g(0) \exp\left(-2\pi^2 e^{2} -1) \right) $$ y de ahí que $$ \hat{G}. (e^t \xi_0) = \hat{G}(\xi_0) \exp\left(-2\pi^2 e^{2} -1) \right). $$ Ahora, para cualquier $\xi \neq 0$ escribimos $\xi = e^t \xi_0$$\xi_0 = \xi/|\xi|$$|\xi| = e^t$. Conectar de arriba, a continuación, muestra que $$ \hat{G}(\xi) = \hat{G}\left(\frac{\xi}{|\xi|} \right)\exp\left(-2\pi^2(|\xi|^2 -1) \right). $$ Ya hemos asumido que $G$ es integrable, sabemos que $\hat{G}$ es continua, y por lo que han derivado la mayoría de forma general para $\hat{G}$, es decir, $$ \hat{G}(\xi) = K\left(\frac{\xi}{|\xi|} \right) e^{-2\pi^2 |\xi|^2} $$ por alguna función continua $K$. Sin embargo, el término exponencial es la unidad en $\xi=0$, por lo que la continuidad de $\hat{G}$ requiere que en realidad $K$ es constante.

Por lo tanto $\hat{G}(\xi) = Ke^{-2\pi^2 |\xi|^2}$, lo que implica entonces que $$ G(x) = \frac{K}{(2\pi)^{d/2}} e^{-|x|^2/2}. $$ Ahora vamos a ir de nuevo a su pregunta de ¿qué hipótesis tienen que ser hechas en $G$. Para hacer el análisis anterior válido tenemos que $G$, $\Delta G$, y $x\cdot \nabla G$ todos caries lo suficientemente rápido como para justificar la aplicación de la transformada de Fourier. Por ejemplo, podemos asumir que $$ G, \Delta G, x \cdot \nabla G \en L^1(\mathbb{R}^d). $$

Una última observación: Usted también debe ser capaz de demostrar que $G$ es Gaussiano si y sólo si $G$ es radial. Una dirección es trivial. Por el otro, asumir que $G$ es radial y luego reescribir la PDE como un segundo orden de la educación a distancia en $r$ y la solución resultante debe ser una Gaussiana.

Answer 2

En primer lugar, permítanme presentarles a la función de $f : \mathbb{R}^n \rightarrow R | f(x) = \exp( \frac{1}{2} x \cdot x)$. Ya que no hay ningún cero y $\frac{1}{f}\nabla f = x$, puede reescribir $\nabla G + x G = 0$$\nabla G + \frac{G}{f}\nabla f = 0$, que es equivalente a : $$ \nabla ( fG ) = 0 $$ Ahora, el segundo orden de la ecuación de lee $\Delta (fG) = \operatorname{div}\nabla(fG) = 0 $. Afortunadamente, la pregunta en $\mathbb{R}^n$, lo que ha trivial cohomology de modo que Poincaré Lema se aplica (ver esta página de la Wikipedia para obtener más información). Por lo tanto, no existe un campo de vectores $A$ definido en $\mathbb{R}^n$ tal forma que : $$ \nabla (fG) = \operatorname{curl} A$$ Esto significa que $A$ $fG$ son miembros de la misma Helmoltz de descomposición. Básicamente, lo que están pidiendo es que el $\operatorname{curl} A$ cero. De nuevo el uso de Pointcaré lema, esto significa que existe una función de $\phi$ tal forma que : $$ A = \nabla \phi$$

Espero que esto ayude !

Answer 3

Para las funciones de Schwartz espacio funcional $S_{1,1}$ donde $S_{\alpha,\beta} = |x^{\alpha}\frac{\partial^{\beta}}{\partial x^{\beta}}G| \lt \infty$ donde la norma significa la existencia si la integral sobre la $R^d$ podemos utilizar multidimensional de la transformada de Fourier.

Esto terminan en: $$0 = \digamma[\nabla(\nabla G + xG)] = i<k \cdot \hat{F}>$$ where $\hat{F} = ik\hat{G} +i\nabla\hat{G}$ and $\hat{G} = \digamma[G]$

Ahora, $\hat{F}$ vector es paralelo a $k$, es decir, no tenemos ningún perpendicular componentes que se desvanecen en el producto escalar $<k \cdot \hat{F}>$.

Se sabe que el espacio de Schwartz es denso en $L^p$, por lo que podemos aproximar la función de $L^p$ por la secuencia de la función de $S$ converge débilmente $L^p$ norma o de un.e. la aproximación.