Estoy teniendo problemas con la resolución de un análisis real examen de calificación problema.
La pregunta asume $\mu(X) < \infty$ $\left| f \right| < 1$ (EDICIÓN: Suponga $f$ es un valor real). Vamos a demostrar que $$ \lim_{n \to \infty} \int_X 1 + f + \dots + f^n d\mu$$ exists, possibly equal to $\infty$.
Mi trabajo hasta ahora. Cada integrante de la secuencia tiene sentido ya que los $\int 1 + \left| f \right| + \dots + \left| f \right|^n < (n+1) \mu(X) < \infty$. Reformular el problema, queremos mostrar a $\sum_{n = 0}^\infty \int f^n$ converge. Es inmediato por la Monotonía Teorema de Convergencia que el resultado es cierto para no negativo de las funciones de $f$. Considerando la convergencia absoluta, hemos $$\sum \left| \int f^n \right| \leq \sum \int \left| f \right|^n$$ where the series on the right converges by what we just said. If said series is finite, then $\sum \int f^n$ converge absolutamente, por lo tanto converge.
Pregunta. Estoy atascado en el caso de que $$ \sum \int \left| f \right|^n = \infty. \;\;\;\;\;\;\;\;\; (*)$$
Sé que desde el planteamiento del problema que estamos permitiendo $\sum \int f^n = \infty$, pero es que no me queda claro si esto debería seguir de $(*)$. Sabemos $$\sum \int \left| f \right|^n = \int \sum \left| f \right|^n = \frac{1}{1 - \left| f \right|}.$$ So if this equals $\infty$, then $\mu \left\{ x \colon \left| f(x) \right| > 1 - \frac{1}{n} \right\} > 0$ for all $n$. And of course $\sum f^n = \frac{1}{1 - f}$ así. Pero no puedo ver cómo poner todo esto junto.
Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias.
