En este vídeo, a partir de las 3:45 el profesor dice
Hay algunos excelentes trabajos escritos que el descuento de la idea de que debemos utilizar nunca j (unidad imaginaria) en los motivos que se esconde algún tipo de estructura que se puede explicar por otros medios.
¿Qué es el "otro medio" que él se está refiriendo?
Los números complejos son a menudo grandes explainers e iluminadores. Aquí es un ejemplo canónico. Tenemos $${1\over 1 + x^2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^n x^{2n}.$$ Un brillante calc estudiante se le pedirá a preguntar, "¿Cuál es el problema aquí? ¿Por qué la serie de repente deja de converger en $\pm 1$? La función en el lado izquierdo es diferenciable en cualquier orden en toda la línea."
El plano complejo revela la respuesta. La función de $f(z) = 1/(1 + z^2)$ tiene polos en $\pm i$. Así, la distancia desde el centro de la serie de Taylor para el lugar donde el primero tiene una analítica desagradable (un polo aquí) es 1. De repente, este misterioso "paro de convergencia de la nada" se convierte en un fenómeno enteramente natural.
No veo mérito en este tipo la idea de que los números complejos son de alguna manera antinatural.
No sé lo que "otros medios" que el becario tenga en mente, pero hay un par de maneras de hacer lo que los números complejos hacer sin tener que introducir unidades imaginarias:
Si usted sabe acerca de los anillos, ideales y anillos cociente, entonces usted puede trabajar en ${\bf R}[x]/(x^2+1)$ que tiene un elemento, $x+(x^2+1)$, que hace lo que usted quiere que su unidad imaginaria a hacer.
Si usted sabe acerca de las matrices, el conjunto de todas las matrices de la forma $$\pmatrix{a&b\cr -b&a\cr}$$ with $a,b$ real does everything you need, with $\pmatrix{0&1\cr-1&0\cr}$ jugando el papel de la unidad imaginaria.
La siguiente es su respuesta.
Hola,
Me refería a un Álgebra de Clifford (algunas personas lo llaman álgebra geométrica). Ver un papel de Chris Doran, Stephen Gaviota y Anthony Lasenby con un título algo así como "Números Imaginarios no son Reales ..."
Los números complejos son una sub-álgebra de la más simple de todas las Álgebras de Clifford, Cl_2. Por otra parte el "vector" de la naturaleza de los números complejos es capturado por la complementariedad sub-álgebra.
SDG
Seamus Garvey está haciendo un montón de sentido aquí y en alusión a algo muy profundo. El álgebra geométrica es un concepto unificador que puede parecer magia para alguien que nunca ha visto antes. Se cucharadas de números complejos, quarternions, exterior, álgebra, spinors, y muchas otras herramientas que previamente parecían inconexos.
Para ver su uso en la física de la salida:
David Hestenes ha sido un largo tiempo proponente y utiliza el álgebra geométrica para empujar a un curso de pregrado en la mecánica camino más allá de lo que puede hacerse para universitarios: http://www.amazon.com/gp/product/0792355148/ref=pd_lpo_k2_dp_sr_1?pf_rd_p=486539851&pf_rd_s=lpo-top-stripe-1&pf_rd_t=201&pf_rd_i=0521480221&pf_rd_m=ATVPDKIKX0DER&pf_rd_r=06N9652VYPQXDFB81SYD
Baylis toma el curso estándar en el electromagnetismo en el nivel de pregrado y reformula en términos de álgebra geométrica (posiblemente mucho más natural): http://www.amazon.com/gp/product/0817640258/ref=pd_lpo_k2_dp_sr_2?pf_rd_p=486539851&pf_rd_s=lpo-top-stripe-1&pf_rd_t=201&pf_rd_i=0470941634&pf_rd_m=ATVPDKIKX0DER&pf_rd_r=1J8N3BGYNA8465XY6XV5
y para ver una aproximación matemática que te lleva hacia el spinor ruta de salida:
o algo un poco más y explícita es:
Yo no puedo hacer suficiente hincapié en cómo el Álgebra de Clifford concepto que engloba a todos juntos. Uno trabaja con todas estas herramientas y te dan una sensación de que todo está relacionado, pero no es frecuente que se presentan como tales. Ahora no me malinterpreten-álgebras de Clifford no son una fórmula mágica y el análisis complejo estará siempre en su caja de herramientas. Eso es un hecho. Pero a ver cómo todos los enlaces hasta la CA de la ruta.
Usted no se arrepentirá.
Tal vez él quiso decir lo siguiente: Un número complejo $z$ es en primer lugar un elemento del campo ${\mathbb C}$ de los números complejos, y no un $a+bi$. De hecho hay elementos de la estructura de los cuales permanecen ocultos cuando se piensa en términos de partes real e imaginaria sólo, por ejemplo, la multiplicación de la estructura del conjunto de raíces de la unidad.
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