Romper simetrías

Question

Cuando estudiaba electromagnetismo y las ecuaciones de Maxwell, nuestro profesor nos dijo una cita. No la recuerdo exactamente, pero el significado era más o menos el siguiente:

La simetría en un problema es inútil si no se tienen los medios para explotarla.

(por cierto, me encantaría que algún alma caritativa me facilitara la fuente).

Tiene sentido en el contexto del electromagnetismo: el efecto de las simetrías en la condición inicial no es tan sencillo como podría pensarse ingenuamente. Por ejemplo, una simetría plana para las cargas produce una simetría plana para el campo eléctrico, mientras que una simetría plana para la corriente produce una antisimetría para el campo magnético. Por lo tanto, el efecto de una simetría dada en las condiciones iniciales depende de las propiedades de las ecuaciones.

Más tarde me sorprendí bastante al conocer algunos ejemplos mucho más llamativos. El primero que me viene a la mente es el siguiente:

¿Cuál es el grafo más corto que une los vértices de un cuadrado?

El primer reflejo de la mayoría de la gente sería mirar los gráficos que tienen la misma simetría que el cuadrado ( $D_4$ ). Es un error. Las soluciones presentan cierto grado de simetría ( $D_2$ ), ¡pero menos que el cuadrado!

Sin embargo, no conozco ningún otro ejemplo bonito para el que la solución sea menos simétrica que el problema (excepto quizá los empaquetamientos de esferas, pero eso es menos sorprendente). Creo que estaría bien tener una lista lo más variada posible, tanto para afinar mi intuición como para proporcionar contraejemplos a mis alumnos. Y, francamente, porque este tipo de fenómeno es bastante divertido.

Answer 1

Creo que aquí entran en juego dos efectos muy distintos: si el normas del problema son invariantes bajo simetría, y si la soluciones del problema son invariantes bajo simetría.

El primer caso lo encarna el ejemplo del electromagnetismo. Cuando esto ocurre, realmente no se puede decir nada, y la simetría aparente en realidad no es tal. Aquí no hay nada que ver.

El segundo caso es el problema del "camino más corto". Con el mismo espíritu, pero más sencillo, se puede ver $$P(x)=x^2+1$$ que es un polinomio real, es decir, simétrico con respecto al $x$ simetría del eje (conjugación): $P(\bar x)=0$ si $P(x)=0$ .

Sin embargo, ninguna solución es simétrica con respecto a la conjugación: las raíces son $i$ y $-i$ que están alejados del $x$ eje. Se rompió la simetría.

Sin embargo, tomado como conjunto, el conjunto de raíces es $\{i,\,-i\}$ que es globalmente invariante bajo conjugación. Esta es una característica general de los problemas simétricos. De hecho, el conjunto de simetrías de un problema puede ser definido como el conjunto de $\sigma$ de una familia dada que dejan invariante el conjunto de soluciones. (Por supuesto, se puede objetar que, según esta definición, un problema sin soluciones es máximamente simétrico, aunque estas simetrías ocultas no aparezcan en la estructura del problema y no sirvan para resolverlo realmente).

Answer 2

Hay infinidad de ejemplos de ese fenómeno.
Por su importancia en física quiero mencionar la ecuación de Laplace (invariante para rotaciones) y sus soluciones.
Pero lo más sencillo que puedo imaginar es la ecuación $x + y = 0$ , $x, y\in \mathbb R$ .
Es invariante para la transformación $$ x\to y\\ y\to x $$ pero cada una de sus soluciones (aparte de $(0, 0)$ por supuesto) no es invariable y se envía a otro.
La simetría del problema se refleja en la simetría del espacio de soluciones, no en la de la solución única.
En ese sentido, el problema del cuadrado no es una excepción. Las soluciones únicas no tienen $D_4$ simetría, el espacio de soluciones sí (ya que la solución rotada sigue siendo una solución).

Answer 3

Excelente pregunta. Intentaré aportar mi granito de arena.

Creo que el ejemplo arquetípico de este tipo de comportamiento se da en la teoría de juegos. No es contraintuitivo, y precisamente por eso puede servir para explicar el problema.

Considere lo siguiente simétrico matriz de retribución:

$$ \left[\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\right],$$

los únicos equilibrios de Nash puros son las parejas $\langle A,B \rangle$ y $\langle B,A \rangle$ . Se trata de una situación análoga a la de tu ejemplo (hay dos soluciones óptimas: la vertical y la horizontal), y proporciona cierta intuición: las soluciones simétricas conllevan algún coste que las hace subóptimas. Existen medios para ampliar el conjunto de estrategias de modo que haya una simétrica (elegir $A$ con probabilidad $\frac{1}{2}$ o, en el caso de un cuadrado, construir una solución vertical y horizontal con pesos en los bordes $\frac{1}{2}$ ), pero a menudo resulta insatisfactorio. El problema es cómo desempatar. Puede que no sea posible hacerlo de forma determinista y, cuanto más difícil es, ¡más sorprendente parece el resultado!

¡Salud!