'$R$-puntos racionales", donde $R$ es un anillo arbitrario

Question

En la página 49 de Liu Geometría Algebraica y Aritmética de Curvas, nos encontramos con el Ejemplo 3.32. En él, se muestra que, si $k$ es un campo y $X=k[T_1,\dots,T_n]/I$ es un esquema afín $k$, las secciones $X(k)$ ($k$- puntos racionales de $X$) están en bijection con el conjunto algebraico $Z(I)$ corta por $I$. Este es el conjunto de todos los $\alpha\in k^n$ $P(\alpha)=0$ por cada $P(T)\in I$.

Al final de la sección, que le da a este ejercicio:

$\textbf{3.6}$ Generalizar Ejemplo 3.32 para el caso de que $k$ es un arbitraria anillo.

¿Cómo es esto posible? La prueba en el ejemplo que se hace indispensable el uso de el hecho de que $k$ es un campo. Claramente queremos considerar el conjunto de corte por $I$ $R^n$ donde $R$ es algún anillo, y relacionar esta a las secciones $X(R)$, pero no veo cómo proceder. En particular, la prueba identificó la $k$-puntos racionales con los puntos donde el residuo de campo se $k$. Desde el residuo de campo es siempre un campo, sino $R$ no puede ser, ya no podemos utilizar el residuo de campo para identificar el $R$-puntos racionales.

Answer 1

Deje $X = \text{Spec}\,A$ ser afín esquema finito de tipo más de $R$. A continuación, $X$ viene con un mapa de $X\rightarrow \text{Spec}\,R$, de modo que el mapa correspondiente de los anillos de $R\rightarrow A$ $A$ un finitely generadas $R$-álgebra. Así que podemos escribir la $A \cong R[T_1,\dots,T_n]/I$ por algún ideal $I$.

Ahora$X(R)$, $R$- puntos de $X$, son los mapas de $\text{Spec}\,R \rightarrow X$ cuales son las secciones del mapa $X \rightarrow \text{Spec}\,R$. Ya que estamos hablando de mapas de afín a sistemas, estos son canónica bijection con anillo de mapas de $A \rightarrow R$ cuales son las secciones de la estructura del mapa de $R\rightarrow A$, $R$- álgebra homomorphisms $R[T_1,\dots,T_n]/I\rightarrow R$.

Ahora desde $R[T_1,\dots,T_n]$ es el $R$-álgebra en $n$ generadores,

\begin{align} \text{Hom}_R(R[T_1,\dots,T_n]/I,R) &\cong \{f\in\text{Hom}_R(R[T_1,\dots,T_n],R)\,|\,I\subseteq \text{Ker}(f)\}\\ &\cong \{(r_1,\dots,r_n)\in R^n\,|\,p(r_1,\dots,r_n) = 0\,\text{for all}\,p\in I\}. \end{align}

Answer 2

Deje $Y=$ Espec $R$. El $R$valores de los puntos de $X$, $\hspace{1mm} X(R)$, son los elementos de Hom$(Y,X)$, los cuales son en bijection con Hom$(k[T_1,\ldots,T_n]/I,R)$. Por lo tanto, $X(R)$ es en bijection con las tuplas $\alpha=(a_1,\ldots,a_n) \in R^n$ que $P(\alpha)=0$ todos los $P \in I$.