¿Por qué $ (\frac{1}{2})^∞ = 0?$

Question

Recientemente, mientras que en mi tutoría había una pregunta que decía: "Aladin tiene un par de magia tijeras pueden cortar las cosas en pedazos diminutos. Si se corta una alfombra en la mitad, corta la mitad de la mitad y continúa por siempre será, finalmente, alcanzar la nada?".
Me contestó que no. Me dijo que tarde o temprano tendría que llegar a una pieza que sus tijeras no ser capaz de cortar (por ejemplo. los átomos).

El maestro aceptó mi respuesta, pero me dijo que el "derecho" uno era Sí. Entonces él me explicó cómo $\bigg(\dfrac12\bigg)^{\infty} = 0$. No puedo entender cómo eso tiene sentido.

He entrado en la ecuación en wolframalpha y recibió la misma respuesta. Por favor alguien puede explicar como funciona esto?

Gracias

Answer 1

Me opongo a su profesor de respuesta (incluso si queremos eliminar obstrucciones físicas, tales como la indivisibilidad de algunos de partículas u otro): después de cualquier cantidad finita de tiempo, Aladdin tendrá sólo se divide en trozos de tamaño de $(1/2)^n$ para algunos finito $n$; esto es aún positivo. Sin embargo, el límite es cero, que es lo que se entiende por $(1/2)^\infty$. Como $n$ se hace más grande, $(1/2)^n$ obtiene tan pequeño como usted desea, así que podemos decir que su límite de $n \rightarrow \infty$ es cero.

Answer 2

Lo que su maestro le dijo que no estaba muy matemáticamente exacta. Se debe observar la secuencia infinita de potencias de la mitad,

$$1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\cdots$$

Y el término correcto es que la secuencia tiende a cero (se converge a su límite , que es $0$).

El hecho de que este llega a cero no debería sorprender a usted. Pero usted necesita un número infinito de recortes.

Por supuesto, esto es, asumiendo que él está lanzando el resto de la alfombra de distancia. De lo contrario, usted acaba de conseguir un montón de diferentes tipos de piezas :)

Answer 3

También me gustaría un objeto a su maestro de la respuesta. La ventaja de la escritura $\left(\frac{1}{2}\right)^{\infty}=0$ es que usted no tiene que responder a la pregunta "¿qué hace usted en realidad terminan con al cortar una alfombra en la mitad de una cantidad infinita de veces?".

Su maestro fue probablemente tratando de explicar la idea de un límite, que se parece más a la pregunta "Si me cortan la alfombra en una mitad, y luego de que la mitad de en medio, y así sucesivamente, estoy siempre va a llegar más cerca de no tener nada?"

Un límite es como una predicción de que obtiene el mejor el más datos que utiliza para su predicción. El más términos de $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ calcular, cuanto más se acerque a 0. Si su predicción siempre se pone mejor más términos que usted toma, entonces usted puede escribir $\lim_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n=0$.

Para Aladdin siempre está acercando a no tener nada, pero él nunca terminar con la nada? La pregunta es en realidad no respondió a propósito. Él siempre va a estar cada vez más cerca de no tener nada más se mantiene en la corte, sin embargo: $\lim_{\text{cutting in half}\rightarrow \infty} \text{Aladdin's amount of carpet }=0$.

Answer 4

Respuesta corta, el límite no es el mismo valor, por lo que significa la expresión va acercando a cero.

Lo que es más mencionar, si usted alcanzar el infinito (no es físicamente posible) obtendrá cero (es físicamente imposible).