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¿Existe una materia en matemáticas como el Álgebra topológica?

Me consideraría un topólogo algebraico y hay mucha influencia del álgebra en la topología y sin esta aportación del sitio algebraico diría que muchos teoremas topológicos no se demostrarían hoy en día.

Por otro lado, sólo conozco algunos ejemplos en los que la topología puede demostrar una afirmación algebraica (por ejemplo, que $\mathbb{Z}$ es el único subgrupo discreto de $\mathbb{R}$ se desprende de la clasificación de $1$ -dimensionales; un montón de pruebas del teorema fundamental del álgebra, etc.) y nunca he oído hablar de un enunciado algebraico en el que no exista una prueba puramente algebraica, sino topológica.

Así que mi pregunta es: ¿hay enunciados algebraicos que hasta ahora sólo se han demostrado de forma topológica o existe incluso todo un campo de las matemáticas llamado "álgebra topológica"?

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El primer paso en la geometría algebraica es topologizar un anillo (el conjunto de ideales primos) y estudiar ese espacio en lugar de los propios elementos del anillo.

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En la obra de Serre Árboles utiliza acciones sobre árboles simpliciales para demostrar que todo subgrupo de un grupo libre es libre, proporcionando una prueba topológica de la Teorema de Nielsen-Schreier . En general, esto se ha convertido en Teoría de Bass-Serre .

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Quizá le interese el tema en el que "topológico" se reduce a "geométrico" y "álgebra" se reduce a "teoría de grupos". La "teoría de grupos geométricos" es un campo muy grande y apasionante de las matemáticas. Incluso tiene su propia etiqueta aquí en math.stackexchange.

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Tsundoku Puntos 1953

En efecto, hay libros sobre los grupos topológicos, los grupos de Lie, los anillos topológicos, los groupoides topológicos, los groupoides de Lie, .... , grupoides dobles de Lie, ...

Un resultado que me gusta, y cuya demostración es accesible a un estudiante avanzado, es la clasificación de los subgrupos cerrados del grupo aditivo $\mathbb R^n$ . Cualquiera de ellos es isomorfo a un producto de copias de $\mathbb R$ y $\mathbb Z$ . Una buena referencia para esto es Abelian Groups (London Mathematical Society Lecture Note Series) Paperback Aug 2008 por Sidney A. Morris.

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Pero cada hecho que conozco sobre los grupos de Lie, los objetos algebraicos topológicos y demás es un resultado sobre su estructura topológica nuestro al menos está entrelazado con la cuestión topológica. Mi pregunta es si existe un hecho puramente algebraico, que haya sido demostrado por medios topológicos.

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John Coleman Puntos 121

Existe una extensa literatura que estudia las álgebras topológicas desde la perspectiva del álgebra universal. Entre otras cosas, se centra en la cuestión de cómo la estructura algebraica restringe la naturaleza de las topologías compatibles en el espacio subyacente (por ejemplo, un grupo topológico T_0 debe ser completamente regular). Walter Taylor lo ha estudiado ampliamente. Aquí es un buen ejemplo de lo que se conoce en la zona.

En una dirección ligeramente diferente, ha habido muchas generalizaciones de Dualidad de la piedra que muestra que, en ciertos contextos, la distinción entre álgebra y topología es sólo una cuestión de perspectiva. Brian Davey es probablemente la principal autoridad en las generalizaciones de la Dualidad de Stone a otras estructuras algebraicas y/o ordenadas, y su libro (en coautoría con David Clark) "Natural Dualities for the Working Algebraist" es una buena introducción al campo.

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