Me consideraría un topólogo algebraico y hay mucha influencia del álgebra en la topología y sin esta aportación del sitio algebraico diría que muchos teoremas topológicos no se demostrarían hoy en día.
Por otro lado, sólo conozco algunos ejemplos en los que la topología puede demostrar una afirmación algebraica (por ejemplo, que $\mathbb{Z}$ es el único subgrupo discreto de $\mathbb{R}$ se desprende de la clasificación de $1$ -dimensionales; un montón de pruebas del teorema fundamental del álgebra, etc.) y nunca he oído hablar de un enunciado algebraico en el que no exista una prueba puramente algebraica, sino topológica.
Así que mi pregunta es: ¿hay enunciados algebraicos que hasta ahora sólo se han demostrado de forma topológica o existe incluso todo un campo de las matemáticas llamado "álgebra topológica"?
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El primer paso en la geometría algebraica es topologizar un anillo (el conjunto de ideales primos) y estudiar ese espacio en lugar de los propios elementos del anillo.
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En la obra de Serre Árboles utiliza acciones sobre árboles simpliciales para demostrar que todo subgrupo de un grupo libre es libre, proporcionando una prueba topológica de la Teorema de Nielsen-Schreier . En general, esto se ha convertido en Teoría de Bass-Serre .
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Quizá le interese el tema en el que "topológico" se reduce a "geométrico" y "álgebra" se reduce a "teoría de grupos". La "teoría de grupos geométricos" es un campo muy grande y apasionante de las matemáticas. Incluso tiene su propia etiqueta aquí en math.stackexchange.