Vamos a la matriz $$A=\begin{bmatrix} \binom{m}{k}&\binom{m}{k+1}&\cdots&\binom{m}{k+n-1}\\ \binom{m+1}{k}&\binom{m+1}{k+1}&\cdots&\binom{m+1}{k+n-1}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \binom{m+n-1}{k}&\binom{m+n-1}{k+1}&\cdots&\binom{m+n-1}{k+n-1} \end{bmatrix}$$ Encontrar $\det{(A)}$
Yo sé que tal vez el uso de este conocido identidad: $$\binom{m+i}{j-1}+\binom{m+i}{j}=\binom{m+i+1}{j}\Longrightarrow \binom{m+i+1}{j}-\binom{m+i}{j}=\binom{m+i}{j-1} $$ $$A\a\begin{bmatrix} \binom{m}{k}&\binom{m}{k+1}&\cdots&\binom{m}{k+n-1}\\ \binom{m}{k-1}&\binom{m}{k}&\cdots&\binom{m}{k+n-2}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \binom{m+n-2}{k-1}&\binom{m+n-2}{k}&\cdots&\binom{m+n-2}{k+n-2} \end{bmatrix}$$
He utilizado esta identidad muchas veces(porque si $k=0$, puedo girar int $A$ a una matriz diagonal, y la facilidad de encontrar este valor $\det{(A)}=1$). Pero no puedo activar en esta matriz $A$ matriz diagonal.
PS: este problema es de libro el problema de los impuestos especiales.véase el álgebra Lineal y la teoría de la matriz
Respuesta
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Llame a la determinante $D(m,k)$ (voy a considerar las $n$ fijo).
Si $k>m$ la primera fila es cero, por lo $D(m,k)=0$ en este caso.
Ahora suponga $k\le m$. La aplicación de la identidad $$ \binom{a}{b}=\frac{a}{b}\binom {- 1}{b-1} $$ para cada entrada en el determinante, y tomando los factores de filas y columnas, hemos $$ D(m,k)=\frac{m(m+1)(m+2)\dots(m+n-1)}{k(k+1)(k+2)\dots(k+n-1)} \, D(m-1,k-1) . $$ Repetir esto, trabajamos nuestro camino hacia abajo a $$ D(m,k)=(\text{algo}) \times D(m-k,0) , $$ y $D(m-k,0)=1$, como ya se ha notado. (Una mancha de la prueba utiliza la Gessel–Viennot camino de conteo de lema; vea las páginas 221-222 en Martin Aigner es Un Curso de Enumeración).
Por lo tanto, $D(m,k)$ es igual a ese "algo", que dejo de trabajar. ;-)
