Otras formas de definir los poderes reales.

Question

Conozco las siguientes 3 formas de definir los poderes reales:

1. Dado $x,y\in\mathbb{R}$ , de tal manera que $x\gt0$ podemos definir $$ x^y = \begin{cases} \sup_{\,q\in\mathbb{Q}}\{x^q :q\le y\} &;\ 1\le x\\ \\ \inf_{\,q\in\mathbb{Q}}\{x^q :q\le y\} &;\ 0\lt x\lt 1\\ \end{cases} $$

2. Utilizando la teoría de la integración, definimos para $x\gt0$ : $$ \ln x:=\int_1^x{\frac{dt}{t}} $$ Podemos entonces demostrar, utilizando esta definición, que $\ln x$ tiene todas las identidades conocidas de los logaritmos. Además, podemos demostrar que $\ln x$ es una biyección, y tiene una inversa que definimos como $e^x$ . A continuación, definimos para cualquier $x,y\in\mathbb{R}$ , de tal manera que $x\gt0$ : $$ x^y :=e^{y\ln x} $$ Y demostrar que esta definición coincide con la definición de potencias racionales (utilizando las identidades de los logaritmos).

3. Utilizando la teoría de las series' podemos demostrar que la serie: $$ e^x:=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{x^k}{k!}} $$ converge para todo $x\in\mathbb{R}$ . Entonces, de forma similar a la definición 2, demostramos que $e^x$ es una biyección y definimos su inversa como $\ln x$ . Por último, definimos para cualquier $x,y\in\mathbb{R}$ , de tal manera que $x\gt0$ : $$ x^y :=e^{y\ln x} $$ Podemos entonces proceder a mostrar como antes que las identidades familiares del exponente se mantienen, y así la definición coincide con las potencias racionales.

Mi pregunta tiene dos partes:

1. En primer lugar, aunque estas definiciones coinciden (lo que significa que para una $x,y\in\mathbb{R}$ todas las definiciones dan el mismo valor para $x^y$ ), las propias definiciones pueden derivarse de una base más sencilla. O, en otras palabras, ¿son las tres definiciones diferentes descripciones de la misma definición subyacente, derivadas de los mismos axiomas?

2. ¿Hay descripciones adicionales para los poderes reales?

Answer 1

La función $f(x)=a^x$ para $a\geq 0$ está determinada únicamente por estas tres propiedades:

1. $\forall x,y \in\Bbb R\left[f(x+y)=f(x)f(y)\right]$
2. $f$ es continua en al menos un punto
3. $f(1)=a$

Lo que Martín-Blas trata de transmitir es que, una vez que se acepta la propiedad fundamental de que una operación "de tipo exponencial $E:\Bbb R\rightarrow \Bbb R$ tiene es $E(x+y)=E(x)E(y)$ Entonces, desgraciadamente, hay varios mapas de este tipo. Sin embargo, muchas de estas funciones son extremadamente erráticas. Si imponemos incluso una pequeña cantidad de "buen comportamiento", nos quedamos con un conjunto de funciones que son equivalentes a $a^x$ para algunos $a\geq 0$ .

No conozco la prueba para cuando supongamos que $f$ es medible, pero conozco la prueba para cuando $f$ es continua en al menos un punto. Vamos a ocuparnos del caso en que $f(1)=0$ . Sólo con esto, deberías ser capaz de ver que $f(r)=0$ para todos $r\in\Bbb Q$ sólo de la ecuación funcional, y la continuidad requiere que $f$ sea de forma equivalente $0$ .

Supongamos ahora que $f$ no es equivalente $0$ . Entonces la ecuación funcional es la afirmación de que $f$ es un homomorfismo de grupo de $(\Bbb R, +)$ a $(\Bbb R^+, \cdot)$ . Ahora $(\Bbb R, +)$ y $(\Bbb R^+, \cdot)$ son cada uno de los grupos topológicos. Y es un teorema que cualquier homomorfismo entre dos grupos topológicos que es continuo en un punto es continuo en todas partes.

Una vez que sabemos que nuestra función es continua en todas partes, podemos descubrir otras propiedades. Es un ejercicio de Rudin demostrar que una función que satisface la ecuación funcional y es continua es realmente igual a $e^{cx}$ para algunos $c$ . Supongamos que tenemos la existencia del mapa exponencial y del logaritmo natural, pero no ido más allá en la definición de los exponenciales reales.

La ecuación funcional nos dice en realidad que $f$ es, de forma equivalente, cero o nunca es cero. En este último caso, ya que $f(0)=1$ (al ser un homomorfismo de grupo), siempre es positivo. Conjunto $g(x)=\ln(f(x))$ . Entonces tenemos $g(x+y)=g(x)+g(y)$ y que $g$ es continua. Es un ejercicio común en el análisis real mostrar que funciones como $g$ que satisfacen la ecuación de Cauchy $g(x+y)=g(x)+g(y)$ y también son continuos son precisamente los mapas lineales. Así, $g(x)=cx$ para algunos $c\in\Bbb R$ . Y así $f(x)=e^{cx}$ . Ahora establecemos $x=1$ para conseguir que $c=\ln a$ que "legitima" la definición $a^x:= e^{\ln a\cdot x}$ .

Answer 2

Tienes que los únicos continuos/continuos en algunos homomorfismos puntuales/medibles $$E:({\Bbb R},+)\longrightarrow({\Bbb R}^+,\cdot)$$ (es decir $E(x+y)=E(x)E(y)$ ) son los exponenciales: $E(x)=a^x$ .