La Curva en $R^n$

Question

Deje $r:(a,b)\rightarrow{R^n}$ $|r^{'}|=1$ natural parámetro de la curva en $R^n$.
Si $e_1(s)=r'(s),e_2(s),...,e_n(s)$ forma un ortonormales marco, entonces tenemos fórmulas de Frenet: $e_{i}^{'}=-k_{i-1}e_{i-1}+k_{i}e_{i+1}$ y $k_{0}=k_{n+1}=0,e_{0}=e_{n+1}=0$ ($k_1$ es su curvatura).
Encima es de el libro de Geometría 1 escrito por R. V. Gamkrelidze.

Teorema 1 Cuando $n=2$,
si $k_1=0$, $r$ es una línea recta.
si $k_1=c\not=0$, $r$ es una esfera.

Teorema 2 Al $n=3$,
si $k_1=0$, $r$ es una línea recta.
si $k_1=c\not=0, k_2=0$, $r$ es una esfera.
si $k_1=c\not=0, k_2=d\not=0$, $r$ es una línea de espiral.

Estos teoremas se pueden generalizar a dimensiones superiores?

Answer 1

Echa un vistazo a esta referencia:http://arxiv.org/abs/math/0412323

Las curvas que describen tiene curvatura constante proporciones en un degenerado sentido, pero creo que el teorema en el papel que todavía se aplica, mostrando que en dimensiones impares, tales curvas están relacionadas con curvas de pendiente constante en una generalizada de toro. Podría ser cierto que todos ellos se pueden describir de esta manera, pero es difícil de decir de las referencias.

Edit: De referencia 6, parece que las curvas con un número distinto de cero de curvatues se encuentra en un toro con algo de pendiente y puede ser cerrado, mientras que aquellos con un número impar son helicoidal de la naturaleza y no puede ser cerrado. Proporciona fórmulas exactas.