Isomorphisms entre la Normativa de los Espacios

Question

Entre dos normativa (lineal) de los espacios que hay varios conceptos de isomorphisms:

• Lineal isomorphisms: lineal bijective mapas
• Topológico isomorphisms: lineal homeomorphisms (debido a la linealidad de la que éstos son automáticamente de manera uniforme y continua, incluso limitado)
• Isométrica isomorphisms: lineal surjective isometrías

Obviamente isométrica isomorphisms también topológico isomorphisms y topológicas isomorphisms son también lineales isomorphisms y estas inclusiones son estrictas en el caso de infinito-dimensional de la normativa de los espacios. Las ventajas de topológico isomorphisms son evidentes:

• se conservan todas las propiedades topológicas
• para preservar la integridad

Las ventajas de la isométrica isomorphisms son menos claros para mí. ¿Qué propiedades que son invariantes de isométricos isomorphisms, pero no con arreglo topológico isomorphisms? ¿Hay algún tipo de clasificación? La integridad podría sugerir que las propiedades que pueden ser puramente expresado por la métrica $d(x,y)=\lVert x-y\lVert$ son invariantes bajo topológico isomorphisms, pero no estoy seguro acerca de que (Están uniformemente homeomórficos métrica espacios distinguibles?). Un ejemplo obvio sería el "Hilbertness", a saber, la ley del paralelogramo que no es preservada por topológico isomorphisms. ¿Cuáles serían otros ejemplos importantes?

¿Tienes alguna referencia a una lista de propiedades que son invariantes bajo las cuales isomorphisms?

Answer 1

Isométrica isomorphisms preservar:

1) Hilbertness. Esto puede mostrar que isométrica de la imagen de espacio de Hilbert es también de Hilbert. Pero el espacio de Hilbert es tan lindo y dulce que, incluso después de la aplicación de isomorfismo topológico es todavía recognizible.

2) los puntos Extremos. Este hecho se utiliza a menudo para demostrar la no-existencia de isomorfismo isométrico entre dos normativa espacios.

3) Grupo de isometrías. El conocimiento sobre este grupo, a veces, dar una descripción completa de otros matemáticos de la estructura utilizada para la construcción de un espacio de Banach. Véase, por ejemplo, de Banach-Stone teorema. Por cierto isomorfismo topológico puede destruir por completo el grupo de isometrías de cualquier espacio de Banach.

4) $1$-complementabilty. Esta es la mejor forma posible una normativa espacio pueden sentarse en el interior de ambiente normativa espacio, y esta propiedad se conserva bajo isométrica isomorphisms. Por ejemplo, $X^*$ siempre $1$-complementa en $X^{***}$

5) las Tartas y Frechet differentiabilty. Esta propiedad puede ser usada para probar la no-existencia de isometría entre el $\ell_\infty$ $L_\infty$

6) características Métricas. Hay un montón de ellos. Sólo voy a mencionar constantes básicas de secuencias básicas. Secuencias básicas juegan un papel crucial en el estudio de la geometría de espacios de Banach. Básicos constante es el número real que muestra cómo la medida de una secuencia de vectores de "ser ortogonales". En virtud de isomorfismo isométrico esta constante no cambia.

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