Cómo evaluar esta integral?

Question

¿Cómo puedo probar que $$\int_{0}^\infty \frac{\cos (3x)}{x^2+4}dx= \frac{\pi}{4e^6}$$ He cambiado a $$\int_{0}^\infty \frac{\cos (3z)}{(z+2i)(z-2i)}dz$$ , and so the two singularities are $2i$ and $-2i$, pero ¿cómo iba yo a ir de allí?

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$f(z)=\dfrac{e^{i3z}}{(z+2i)(z-2i)},$

$\lim\limits_{z\rightarrow\ 2i}(z-2i)*f(z) = \frac{e^-6}{4i}$

Usando el teorema de los Residuos: $$2\pi i*\frac{1}{4ie^6}=\frac{\pi}{2e^6}$$

Answer 1

Usted puede considerar la posibilidad de $f(z)=\displaystyle\frac{e^{3zi}}{(z+2i)(z-2i)}$. Para $R>0$, considera que el contador $\gamma=\gamma_1+\gamma_2$ donde $\gamma_1(t)=t$ donde $-R\leq t\leq R$, e $\gamma_2(t)=Re^{it}$ donde $0\leq t\leq \pi$. Entonces $$\int_{\gamma_1}f(z)dz=\int_{-R}^R\frac{e^{i3t}}{t^2+4}dt=\int_{-R}^R\frac{\cos(3t)}{t^2+4}dt+i\int_{-R}^R\frac{\sin(3t)}{t^2+4}dt$$ $$\rightarrow\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos(3t)}{t^2+4}dt+i\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin(3t)}{t^2+4}dt\mbox{ as }R\rightarrow\infty,$$ y $$\left|\int_{\gamma_2}f(z)dz\right|=\left|\int_{0}^{\pi}\frac{e^{i3Re^{it}}}{R^2e^{2it}+4}Rie^{it}dt\right|$$ $$\leq\int_{0}^{\pi}\frac{R|e^{i3Re^{es}}|}{R^2-4}dt= \int_{0}^{\pi}\frac{Re^{-3R\sen t}}{R^2-4}dt\leq\int_{0}^{\pi}\frac{R}{R^2-4}dt\rightarrow 0\mbox{ como }R\rightarrow\infty.$$

Por otro lado, por los Residuos Therorem, tenemos $$\int_{\gamma} f(z)dx=2\pi iRes(f(z),2i)$$ desde $2i$ está en el interior de $\gamma$ $-2i$ no lo es. Tenga en cuenta que $$Res(f(z),2i)=Res(\frac{e^{3zi}}{(z+2i)(z-2i)},2i)=\frac{e^{3zi}}{(z+2i)}\Big|_{z=2i}=\frac{e^{-6}}{4i}.$$ La combinación de todos estos, obtenemos $$\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos(3t)}{t^2+4}dt+i\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin(3t)}{t^2+4}dt=2\pi i\cdot\frac{e^{-6}}{4i}=\frac{\pi}{2e^6}.$$ Igualando las partes reales e imaginarias, obtenemos $$\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos(3t)}{t^2+4}dt=\frac{\pi}{2e^6}\mbox{ and } \int_{-\infty}^\infty\frac{\sin(3t)}{t^2+4}dt=0.$$

Ahora tenga en cuenta que $\frac{\cos(3t)}{t^2+4}$ es una función par, es decir, que es simétrica alrededor de la $y$-eje: $\frac{\cos(-3t)}{(-t)^2+4}=\frac{\cos(3t)}{t^2+4}$. Tenemos $\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos(3t)}{t^2+4}dt=2\int_{0}^\infty\frac{\cos(3t)}{t^2+4}dt$, lo que implica que $$\int_{0}^\infty\frac{\cos(3t)}{t^2+4}dt=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos(3t)}{t^2+4}dt=\frac{\pi}{4e^6},$$ como se requiere.

Answer 2

De manera similar a esta respuesta a la pregunta Compruebe integrales con el teorema de los residuos, la siguiente debe funcionar. Elegir $$f(z)=\dfrac{e^{i3z}}{z^{2}+4},$$ use a contour $\gamma _{R}$ que consta de el límite de la mitad superior del disco de $|z|=R$ y el segmento de $[-R,R]$ se describe la izquierda y aplicar el Jordán del lexema.