Origen de Littlewood, la idea acerca de los cambios de signo de $Li(x) - \pi(x)$

Question

De fondo (omitir si te gusta).

Skewes y Littlewood, están estrechamente identificado con la idea de que $Li(x)- \pi(x)$ cambia de signo infinitamente a menudo, pero Littlewood cerrado una brecha en la obra de Schmidt, que refinado una idea inicial de Phragm$\acute{\text{e}}$n, que acredita Chebyshev con la idea original, llamando a una idea de "tal vez poca importancia, que sin embargo parece un poco de curiosidad."

Phragm$\acute{\text{e}}$n en 1891 se expresa la idea de que: "no hay un límite más allá del cual la diferencia de $f(x)- (Li(x) -\log 2)$ no cambia de signo." De los cinco teoremas en el papel de Chebyshev cita, la más relevante parece ser:*

La función de $\pi(x)$...cumple...un infinito número de veces que las desigualdades

$$\pi(x) > \int_2^x\frac{dx}{\log x}-\frac{\alpha x}{\log^n x},~~~ \pi(x) < \int_2^x\frac{dx}{\log x}+\frac{\alpha x}{\log^n x}\hspace{10mm}(1) $$

no importa cuán pequeña sea la constante positiva $\alpha$ o de cómo los grandes n.

Chebyshev prueba de este teorema y se utiliza más tarde para mostrar que la mejor aproximación de las $\pi(x)$ de la forma $\frac{x}{A\log x + B}$ $\frac{x}{\log x -1},$ ya un buen resultado.

Si suprimimos casi todo, pero el sentido de las desigualdades, dejando $m$ cantidad $\frac{\alpha x}{\log^n x}$ $d$ la diferencia de $\pi(x) - \int_2^x\frac{dx}{\log x},$ podemos re-escribir (1) como

$$ d > -m,~~d < m.\hspace{20mm}(2) $$

Pregunta:

La lógica de Chebyshev en (1),(2) parece ser casi lo contrario de lo que Phragm$\acute{\text{e}}$n era. Al menos superficialmente, para infinidad de x,

Phragm$\acute{\text{e}}$n: $\hat{d} < - \hat{m}$ $~\hat{d} > \hat{m}.$

De Chebyshev: $d > -m$ $~d < m.$

También lo hace el teorema de Chebyshev (1) realmente prefigurar Phragm$\acute{\text{e}}$n de la idea?

Después de mirar a través de Chebyshev de papel y mirando a su teorema para un tiempo que no puedo convencerme de que la idea de la infinidad de cambios de signo es parte de el teorema de Chebyshev (o papel).

Mi interés no está en decidir quién recibe los laureles, sino en la búsqueda de la forma más temprana de la idea, que a veces (pero no siempre) instructivo.

Si alguien puede explicar cómo y por qué estas ideas son las mismas (o no) que sería genial. Puede ser que este no era el teorema (hay cinco) Phragm$\acute{\text{e}}$n la intención. He mirado en los demás y no veo otro candidato obvio. No espero que esta pregunta es de interés general y proporcionar a la página de archivo de Vol. 1 de Chebyshev obras (página 39 es donde el teorema aparece) sólo en caso de que alguien quiera un vistazo (no pago de la pared!). Gracias.

http://archive.org/details/117744684_001

*Edit: Phragm$\acute{\text{e}}$n de la atribución que se lee: "[el resultado] es, como vemos, un poco más precisa que la que nos debemos a M. de Chebyshev [citando el papel por encima de]." Phragm$\acute{\text{e}}$n de f(x) es Riemann de f(x), pero su papel se trata con bastante general de las diferencias de este tipo. Así que el uso de $\hat{d}$ $\hat{m}$ en la cuestión, ya que no son idénticos a de Chebyshev cantidades.

Answer 1

El objetivo principal de Chebyshev del libro es mostrar que 1.08366 no es tan importante como lo era antes. Él se refiere a 1.08366 varias veces a lo largo del papel.

Si usted cree en 1.08366, o más en general, que $$\liminf \left(\ln n - \frac{n}{\pi(n)}\right) >1 \tag{*}$$ then the idea of $\operatorname{Li}n-\pi(n)$ changing sign infinitely often cannot occur to you; (*) implies that $\operatorname{Li}n-\pi(n)>0$ for all large $$ n.

Chebyshev refuta (*) mostrando que $$\liminf \left(\ln n - \frac{n}{\pi(n)}\right) \le 1\le \limsup \left(\ln n - \frac{n}{\pi(n)}\right) $$ a pesar de que él no probó que el límite existe.

Las desigualdades (1) en su post puede ser descrito de la siguiente manera: si dibujamos un (relativamente) delgado barrio de la curva de $y=\operatorname{Li}x$ del especificado en el formulario, para cualquier $\alpha,n>0$, entonces la gráfica de $y=\pi (x)$ llegará a ese barrio infinitamente a menudo.

Como resulta, la gráfica de $y=\pi (x)$ hits de la curva de $y=\operatorname{Li}x$ sí infinitamente a menudo. Esto es algo que de Chebyshev ni demostrado ni conjetura, pero uno lo puede ver como el "límite" $\alpha\to 0$ de Chebyshev es el resultado.

Claramente, el resultado de la con $\alpha=0$ es más preciso, que es lo que Phragmén dice: "[el resultado] es, como vemos, un poco más precisa que la que nos debemos a M. de Chebyshev". Él modestamente poner "un poco más"; después de todo, la cita no proviene de su propuesta de subvención.